綦母懷文計算棗樹的果子

有一次，一個和尚手指著綦母懷文說：「這個人特別能不同一般的算術。」接著，和尚指著庭院的一棵棗樹說：「你們可以叫他計算這棵棗樹的果子，就能知道真實的數目了。」於是大家就試一試了他，果然綦母懷文說出了這棵棗樹的全紅的棗子的數目、半紅半白的棗子的數目。大家於是將棗樹上的棗子全部剝落下來，一個一個的數數，發現少了一個棗子。綦母懷文說：「一定不會少的，只要再搖撼棗樹。」結果，棗樹又掉落了一個棗子。(原文見附錄一)

曹元理的算學

曹元理有一次到真玄兔的朋友陳廣漢家。陳廣漢說：「我有二囷米，忘記有多少石了。你為我計算一下。」曹元理用吃飯的筷子量了十多圈，說：「東囷有米七百四十九石二斗七合，西囷有米六百九十七石八斗。」於是陳廣漢將囷門關好貼上封條。後來往外出米，西囷出了六百九十七石七斗九升。囷中有一隻老鼠，大約有一升那麼大。東囷不差釐毫。

第二年，曹元理又遇到了陳廣漢。陳廣漢將出囷時量的米的石數告訴曹元理。曹元理用手拍床說：「怎麼就不知道老鼠吃米？真沒臉面。」陳廣漢取來了酒和幾塊鹿肉乾，請曹元理邊算邊喝酒。曹元理又用籌碼計算後說：「甘蔗田二十五畦，應該收一千五百三十六枚。大芋三十七畝，應收六百七十三石。有一千頭牛，生產二百頭牛犢。有一萬隻雞，將孵出五萬隻雞雛。」羊豬鵝鴨，都說出它們的數目；瓜果蔬菜果實，都知道它們有多少。又說：「你有這麼多的家業，怎麼拿出這麼少的食物來招待我？」

陳廣漢慚愧地說：「只有倉促中的客人，沒有倉促中的主人。」曹元理說：「你有那麼多的豬雞鴨鵝，有那麼多的瓜果蔬菜，盛上一頭蒸肫，再盛上一盤荔枝，都可以。」陳廣漢再次揖拜謝罪，進到廚房裡重新取來菜餚，兩人一起高高興興地喝酒，一直喝到晚上方散。

曹元理的算學，後來傳給了傅南季；傅南季又傳給了項滔；項滔又傳給了傅南季的兒子傅陸。但是這些人都只學到了曹元理的分數，而沒有真正繼承下來他在算學上的建樹。(原文見附錄二)

袁弘御計算桐樹葉子

後唐袁弘御官任雲中從事，尤其精通算術。同府的同事讓他計算一下院子裡一株桐樹有多少片葉子。他立即丈量桐樹，在離桐樹七尺遠圍樹畫一個圓，量取圓的直徑的尺寸進行運算。過了許久，說：「約有若干片樹葉。」同事們沒法查核，讓人撼掉二十二片葉子，又叫他算。袁弘御說：「照比剛才少了二十一片樹葉。」檢查一下，掉落的葉中有兩片略小點，當成一葉了。節度使張敬達有兩隻玉碗，袁弘御量了一下碗的深度與寬度，運算之後說：「這兩隻碗明年五月十六日巳時一定會碎裂的。」張敬達聽了後說：「我將它們小心地藏起來，看它們還能破碎嗎？」隨即讓人將兩隻玉碗用衣絮等物包裹好，裝在一個大竹籠裡面，放在庫房中。

到了來年五月十六日巳時，庫房的屋樑突然折斷了，掉下來剛好壓在藏碗的竹籠上，兩隻玉碗都被砸碎了。太僕少卿薛文美同在府中，親眼見到這件事情。(原文見附錄三)

這三則故事說明了中國古代數學科學的奇特玄妙之處。可惜，這些記載由於過去的人們沒能正確的去理解，多數把他們當作傳說，淹沒了他們的真實與可靠性。而能理解中國古代文化的博大精深的人，是完全相信他們的真實性的。

首先，綦母懷文、曹元理、袁弘御三人都精通算術，然而至於是什麼樣的算術，現在科學或者技術理念已經弄不明白了。也就是說，根據故事的記載，此三人的算術是真實而且準確的，只是已經失傳了而已。實際上，應當還有更多的故事，筆者能力所限，未能找到。

其次，綦母懷文的故事中沒有記載使用了什麼計算工具。曹元理在量測陳廣漢二囷米的重量的時候，用了「食箸」（即筷子）作為工具，而不是用權衡或者稱枰來稱重計算。曹元理在量測陳廣漢家畜及農作物的收成時，也未見有用任何工具。袁弘御在測算桐樹的葉子數目的多少的時候，竟然是丈量樹的圍徑的大小，然後得出桐樹的樹葉的具體數目。但是，由於眾人無法證實桐樹上的葉子的具體數目，乾脆故意搖落桐樹的葉子，讓他計算（實際是近同於猜測）地上的落下葉子的數目；結果，計算的結果完全準確。

這說明古人計算事物的數目是有一種特殊的計算方式，而且這些計算方式使用的工具是極其簡單的，甚至跟計算的事物或者測量單位是不一致的、不是一回事。就如袁弘御計算桐樹的葉子數目的時候，竟然丈量樹木的圍徑；而搖落的樹葉數目的計算依靠的是什麼，卻是不得而知了。

第三，這三個故事在計算的對象上，用今人的觀念，接近必須使用猜測的辦法或者極其特殊的工具才能計算的，實際都是些刁難之題，猶如笑話一般要人數天上的星星或者數綿羊身上的毛髮。可是，根據當時的情況來看，不具備任何現實中人們理解得到的任何必須工具。而且這些算家們似乎也不需要任何特別的工具。如：綦母懷文計算棗樹的果實的時候，不僅能算清楚果實的數目，而且能計算清楚生熟的具體數目。如果是今人計算的話，必然一個一個的去剝摘樹上的果實才能算得清，這樣不論果實的是否是成熟，都被剝摘，勢必造成浪費，這就是現代實證科學思想的實驗的過程與結果。

曹元理在計算陳廣漢二囷米和家畜、農作物數目的時候，不可能一個一個的去到現場稱重或者記數，而曹元理畢竟計算出來了，並且非常準確，甚至西囷中多出來的一隻老鼠的重量也包括在其中了。

袁弘御不僅算出樹上的葉子數目，而且，剛剛搖落地上的葉子數目迅即可以被計算出來。更進一步的是，袁弘御能計算出二隻玉碗在什麼時間破碎。這個就近乎神話奇談了。

第四，由此我們可以瞭解到，中國古代的數學有許多不為人們所知的真實情況，主要是包括關於數學的認識和關於數學的計算方法。

筆者認為，這和中國古代的半神文化有關，尤其是中國的數術文化。這一點在袁弘御的故事上猶有體現。簡而言之，人們一般認為算卦屬於算命之類，能為人說明吉凶變化。實際真正的算卦不僅可以算命，還可以算很多人類或者自然界的其他的各種事物，不一定專為算命而用。中國數術文化的來源，大都是來自象《周易》、陰陽、五行等等之類的卜筮等技巧，體系大多完整嚴密，皆有崇天敬神的本意。數術與數學之間的關係還須另文詳論。

另外，讀者若翻閱《太平廣記·215卷》部分，就可以感覺到，至少在宋朝以前，人們對於現代意義的數學是把他歸為數術文化中的一小部分而已。像《漢書·律歷志》：「數者，一十百千萬也，所以算數事物，順性命之理。《書》曰：『先其算命。』……探賾索隱，鉤深至遠，莫不用焉。」可見，在古人看來，算數之學莫不是與「性命之理」息息相關，只是這一部分的認識，已經不為當今的受現代科學思想限制的人們熟悉或者理解了。恰恰正是這一部分「性命之理」，卻與道德修煉真實聯繫的，也就是說只有修煉的人或者大德之士才能去理解或者闡釋這一部分內涵。若瞭解一些《易》文化的人，就知道《易》既有「義理」之學，又有「像數」之學。北宋大儒邵雍把《易》文化分為意、言、象、數四個層次，和「義理」、「像數」的分法大致相同。後人也把邵雍的易學稱為「數學」，這也是因為他大量的使用數的方式來闡釋他的易學成就。邵雍的《皇極經世》更是邵雍的「數學」成就的完美體現。而「像數」跟今日的數學理念，已經有研究者發現是緊密相關的。現在仍有一部分海內外學人致力於這方面的工作。

在清朝的《四庫全書》中，對於算術與數術已經有所區分，但也不是非常的嚴格，這主要是因為當時西方的數學體系剛剛進入中國，而數術文化又還在朝野中流傳的緣故。到了近現代開始，風氣漸變，加之由於這些古代數學的內涵與方法的失傳，使得受現代實證科學影響的今人更加難以理解，甚至是誤解，造成在中國古代數學問題的認識、傳播在現代社會受到阻礙。現在，由於有了修煉人在社會上的出現和在社會的工作，也將給予人們重新認識數學這門科學的真實內涵的機會。

[附錄一]

《北史.列傳第七十七藝術上.綦母懷文傳》記載：

昔在晉陽為監館，館中有一蠕蠕客，同館胡沙門指語懷文云：「此人別有異算術。」仍指庭中一棗樹云：「令其布算子，即知其實數。」乃試之，並辨若干純赤，若干赤白相半。於是剝數之，唯少一子。算者曰：「必不少，但更撼之。」果落一實。

[附錄二]

《太平廣記》第215卷《算術》中的《曹元理》篇記載：

曹元理嘗從真玄兔友人陳廣漢。廣漢曰：「吾有二囷米，忘其碩數。子為吾計之。」元理以食著十餘轉曰：「東囷七百四十九石二斗七合，西囷六百九十七石八斗。」遂大署囷門。後出米。西囷六百九十七石七斗九升。中有一鼠，大堪一升。東囷不差圭合。元理後歲復遇廣漢，廣漢以米數告之。元理以手擊床曰：「遂不知鼠之食米，不如剝面皮矣。」廣漢為之取酒。鹿脯數臠。元理復算曰：「甘蔗二十五區，應收一千五百三十六枚。蹲鴟三十七畝，應收六百七十三石。千牛產二百犢。萬雞將五萬芻。」羊豕鵝鴨，皆道其數。果蓏殽核，悉知其所。乃曰：「此資業之廣，何供具之褊。」廣漢慚曰：「有倉卒客。無倉卒主人。」元理曰：「俎上蒸肫一頭，廚中荔枝一盤，皆可以為設。」廣漢再拜謝罪。入取，盡日為歡。其術後傳南季。南季傳項滔。項滔傳子陸。皆得其分數，而失其立妙焉。（出《西京雜記》）

[附錄三]

《太平廣記》第215卷《算術》中的《袁弘御》篇記載：

後唐袁弘御為雲中從事，尤精算術。同府令算庭下桐樹葉數。即自起量樹，去地七尺，圍之。取圍徑之數布算。良久曰：「若干葉。」眾不能覆。命撼去二十二葉，復使算。曰：「已少向者二十一葉矣。」審視之，兩葉差小，止當一葉耳。節度使張敬達有二玉碗，弘御量其廣深，算之曰：「此碗明年五月十六日巳時當破。」敬達聞之曰：「吾敬藏之，能破否？」即命貯大籠，籍以衣絮，鎖之庫中。至期，庫屋樑折，正壓其籠，二碗俱碎。太僕少卿薛文美同府親見。（出《稽神錄》）