算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續一)

九數

【正見網2015年10月03日】

大約三年前,九數在這個漫談中,以同樣的題目,寫過一篇短文。現在繼續寫。所以,以續篇為題標記。這個續篇比較長,因此我們拆解為一則一則的連載。

這次的續篇,我們從分子生物學的遺傳密碼錶開始。為了與《周易》卦象建立映射,我們藉助0-1數表作橋樑。通過《周易》卦序轉換,我們得出了一個八行八列的數字方陣。接下來,對八行八列的數字方陣作一些計算,然後觀察黃金分割現象。

九數的興趣全在於數字和算術,1234567890,加減乘除,乘方開方,如此等等。遺傳密碼,只不過是九數用來製作黃金分割的一個工具而已。在人類的各種知識領域尋找黃金分割,是九數的一大愛好。

(一)《周易》卦序

我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。

上經:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,坎卦第二十九,離卦第三十。

下經:咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,既濟第六十三,未濟第六十四。

我們將陽爻(—)換成數字1,陰爻(- -)換成數字0,這樣每個卦可以換成一個六位數。我們約定,自初爻至上爻,轉換為自首位至末位。假定得出一個六位數abcdef,那麼初爻為a,二爻為b,三爻為c,四爻為d,五爻為e,上爻為f。

上經
乾卦111111,坤卦000000,屯卦100010,蒙卦010001,需卦111010,訟卦010111,
師卦010000,比卦000010,小畜111011,履卦110111,泰卦111000,否卦000111,
同人101111,大有111101,謙卦001000,豫卦000100,隨卦100110,蠱卦011001,
臨卦110000,觀卦000011,噬嗑100101,賁卦101001,剝卦000001,復卦100000,
無妄100111,大畜111001,頤卦100001,大過011110,坎卦010010,離卦101101。

下經
咸卦001110,恆卦011100,遯卦001111,大壯111100,晉卦000101,明夷101000,
家人101011,睽卦110101,蹇卦001010,解卦010100,損卦110001,益卦100011,
夬卦111110,姤卦011111,萃卦000110,升卦011000,困卦010110,井卦011010,
革卦101110,鼎卦011101,震卦100100,艮卦001001,漸卦001011,歸妹110100,
豐卦101100,旅卦001101,巽卦011011,兌卦110110,渙卦010011,節卦110010,
中孚110011,小過001100,既濟101010,未濟010101。

(二)遺傳密碼

遺傳密碼的破譯,是二十世紀六十年代分子生物學最輝煌的成就。
我們將三聯密碼錶抄錄如下,並分為四大塊。

【第一字母U】
UUU,苯丙氨酸;UCU,絲氨酸;UAU,酪氨酸;UGU,半胱氨酸
UUC,苯丙氨酸;UCC,絲氨酸;UAC,酪氨酸;UGC,半胱氨酸
UUA,亮氨酸; UCA,絲氨酸;UAA,終止; UGA,終止
UUG,亮氨酸; UCG,絲氨酸;UAG,終止; UGG,色氨酸

【第一字母C】
CUU,亮氨酸;CCU,脯氨酸;CAU,組氨酸; CGU,精氨酸
CUC,亮氨酸;CCC,脯氨酸;CAC,組氨酸; CGC,精氨酸
CUA,亮氨酸;CCA,脯氨酸;CAA,谷氨醯胺;CGA,精氨酸
CUG,亮氨酸;CCG,脯氨酸;CAG,谷氨醯胺;CGG,精氨酸

【第一字母A】
AUU,異亮氨酸;ACU,蘇氨酸;AAU,天冬醯胺;AGU,絲氨酸
AUC,異亮氨酸;ACC,蘇氨酸;AAC,天冬醯胺;AGC,絲氨酸
AUA,異亮氨酸;ACA,蘇氨酸;AAA,賴氨酸; AGA,精氨酸
AUG,甲硫氨酸;ACG,蘇氨酸;AAG,賴氨酸; AGG,精氨酸

【第一字母G】
GUU,纈氨酸;GCU,丙氨酸;GAU,天冬氨酸;GGU,甘氨酸
GUC,纈氨酸;GCC,丙氨酸;GAC,天冬氨酸;GGC,甘氨酸
GUA,纈氨酸;GCA,丙氨酸;GAA,谷氨酸; GGA,甘氨酸
GUG,纈氨酸;GCG,丙氨酸;GAG,谷氨酸; GGG,甘氨酸

(三)遺傳方陣

下面,我們將上述字典排列改寫為方陣排列,目標是得出一個具有高度秩序的八行八列方陣。

(1)順次排列
第一字母U第一列,順次為:UUU,UUC,UUA,UUG;
第一字母U第二列,順次為:UCU,UCC,UCA,UCG;
第一字母U第三列,順次為:UAU,UAC,UAA,UAG;
第一字母U第四列,順次為:UGU,UGC,UGA,UGG;
第一字母C第一列,順次為:CUU,CUC,CUA,CUG;
第一字母C第二列,順次為:CCU,CCC,CCA,CCG;
第一字母C第三列,順次為:CAU,CAC,CAA,CAG;
第一字母C第四列;順次為:CGU,CGC,CGA,CGG;
第一字母A第一列,順次為:AUU,AUC,AUA,AUG;
第一字母A第二列,順次為:ACU,ACC,ACA,ACG;
第一字母A第三列,順次為:AAU,AAC,AAA,AAG;
第一字母A第四列,順次為:AGU,AGC,AGA,AGG;
第一字母G第一列,順次為:GUU,GUC,GUA,GUG;
第一字母G第二列,順次為:GCU,GCC,GCA,GCG;
第一字母G第三列,順次為:GAU,GAC,GAA,GAG;
第一字母G第四列,順次為:GGU,GGC,GGA,GGG。

(2)變為八行
第一行排列:第一字母U第一列,第一字母U第二列,
第二行排列:第一字母U第三列,第一字母U第四列。
第三行排列:第一字母C第一列,第一字母C第二列。
第四行排列:第一字母C第三列,第一字母C第四列。
第五行排列:第一字母A第一列,第一字母A第二列。
第六行排列:第一字母A第三列,第一字母A第四列。
第七行排列:第一字母G第一列,第一字母G第二列。
第八行排列:第一字母G第三列,第一字母G第四列。

(3)八行八列
第一行:UUU,UUC,UUA,UUG,UCU,UCC,UCA,UCG。
第二行:UAU,UAC,UAA,UAG,UGU,UGC,UGA,UGG。
第三行:CUU,CUC,CUA,CUG,CCU,CCC,CCA,CCG。
第四行:CAU,CAC,CAA,CAG,CGU,CGC,CGA,CGG。
第五行:AUU,AUC,AUA,AUG,ACU,ACC,ACA,ACG。
第六行:AAU,AAC,AAA,AAG,AGU,AGC,AGA,AGG。
第七行:GUU,GUC,GUA,GUG,GCU,GCC,GCA,GCG。
第八行:GAU,GAC,GAA,GAG,GGU,GGC,GGA,GGG。
為了說話方便,我們將此八行八列的方陣稱為遺傳方陣。

(四)四象取數

西元一九七三年,德國研究者最早提出遺傳密碼的排列與六十四卦的排列類似。
此後,大陸研究者效仿德國研究者,對此作了一些探討。
九數給大家推薦比較基礎一點的參考資料——《論六十四種遺傳密碼與六十四卦的聯繫》,此文作者是大陸研究者潘雨廷。

為了計算的需要,我們將四個字母U,C,A,G改寫為數字。
規則如下:
U=01,C=11,A=00,G=10。

需要注意的是,從排列的角度看,這樣的映射規則有二十四種。
這裡,九數只是按照“隨其自然”的習慣,隨機選取了一種映射規則。另外二十三種規則,效果如何,有興趣的讀者,可以自己計算。

依照取數規則,我們將遺傳方陣化為0-1數表。
第一行:010101,010111,010100,010110,011101,011111,011100,011110。
第二行:010001,010011,010000,010010,011001,011011,011000,011010。
第三行:110101,110111,110100,110110,111101,111111,111100,111110。
第四行:110001,110011,110000,110010,111001,111011,111000,111010。
第五行:000101,000111,000100,000110,001101,001111,001100,001110。
第六行:000001,000011,000000,000010,001001,001011,001000,001010。
第七行:100101,100111,100100,100110,101101,101111,101100,101110。
第八行:100001,100011,100000,100010,101001,101011,101000,101010。

(五)序數方陣

接下來,我們將0-1數表改寫為卦象表格。
第一行:未濟,訟卦,解卦,困卦,鼎卦,姤卦,恆卦,大過。
第二行:蒙卦,渙卦,師卦,坎卦,蠱卦,巽卦,升卦,井卦。
第三行:睽卦,履卦,歸妹,兌卦,大有,乾卦,大壯,夬卦。
第四行:損卦,中孚,臨卦,節卦,大畜,小畜,泰卦,需卦。
第五行:晉卦,否卦,豫卦,萃卦,旅卦,遯卦,小過,咸卦。
第六行:剝卦,觀卦,坤卦,比卦,艮卦,漸卦,謙卦,蹇卦。
第七行:噬嗑,無妄,震卦,隨卦,離卦,同人,豐卦,革卦。
第八行:頤卦,益卦,復卦,屯卦,賁卦,家人,明夷,既濟。

最後,我們將《周易》卦序數字代入這個卦象表格,得到序數方陣。
□□□:第一列, 第二列,第三列, 第四列,第五列, 第六列,第七列, 第八列
第一行:未濟64,訟卦06,解卦40,困卦47,鼎卦50,姤卦44,恆卦32,大過28。
第二行:蒙卦04,渙卦59,師卦07,坎卦29,蠱卦18,巽卦57,升卦46,井卦48。
第三行:睽卦38,履卦10,歸妹54,兌卦58,大有14,乾卦01,大壯34,夬卦43。
第四行:損卦41,中孚61,臨卦19,節卦60,大畜26,小畜09,泰卦11,需卦05。
第五行:晉卦35,否卦12,豫卦16,萃卦45,旅卦56,遯卦33,小過62,咸卦31。
第六行:剝卦23,觀卦20,坤卦02,比卦08,艮卦52,漸卦53,謙卦15,蹇卦39。
第七行:噬嗑21,無妄25,震卦51,隨卦17,離卦30,同人13,豐卦55,革卦49。
第八行:頤卦27,益卦42,復卦24,屯卦03,賁卦22,家人37,明夷36,既濟63。

(六)行列求和

經過了漫長的打字,咱們終於可以計算了。

(1)橫向求和
第一行,和為64+06+40+47+50+44+32+28=311。
第二行,和為04+59+07+29+18+57+46+48=268。
第三行,和為38+10+54+58+14+01+34+43=252。
第四行,和為41+61+19+60+26+09+11+05=232。
第五行,和為35+12+16+45+56+33+62+31=290。
第六行,和為23+20+02+08+52+53+15+39=212。
第七行,和為21+25+51+17+30+13+55+49=261。
第八行,和為27+42+24+03+22+37+36+63=254。
總和為311+268+252+232+290+212+261+254=2080。

(2)縱向求和
第一列,和為64+04+38+41+35+23+21+27=253。
第二列,和為06+59+10+61+12+20+25+42=235。
第三列,和為40+07+54+19+16+02+51+24=213。
第四列,和為47+29+58+60+45+08+17+03=267。
第五列,和為50+18+14+26+56+52+30+22=268。
第六列,和為44+57+01+09+33+53+13+37=247。
第七列,和為32+46+34+11+62+15+55+36=291。
第八列,和為28+48+43+05+31+39+49+63=306。
總和為253+235+213+267+268+247+291+306=2080。

(七)黃金分割

我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

①第三列+第四列+第五列+第六列+第七列=總和×Ω
驗算:第三列+第四列+第五列+第六列+第七列=213+267+268+247+291=1286,總和=2080,
解出Ω=1286÷2080=0.6182……

②第一列+第二列+第八列=總和×Ω×Ω
驗算:第一列+第二列+第八列=253+235+306=794,總和=2080,
Ω×Ω=794÷2080=0.3817……
然後開平方,解出Ω=0.6178……

③第二行+第五行+第六行+第七行+第八行=總和×Ω
驗算:第二行+第五行+第六行+第七行+第八行=268+290+212+261+254=1285,總和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……

④第一行+第三行+第四行=總和×Ω×Ω
驗算:第一行+第三行+第四行=311+252+232=795,總和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然後開平方,解出Ω=0.6182……

(待續)

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