【正見網2019年04月23日】
承接前文，我們繼續演算。
洛書，也叫九宮數，是最小規模的幻方。
四九二
三五七
八一六
所謂幻方，說的是一種特殊的正方形數表。假令正方形數表的規模是n行n列，要求數表中，每行的n個數之和，每列的n個數之和，以及主、副對角線上各自的n個數之和，全都相等。
橫為行：4+9+2=3+5+7=8+1+6=15；
縱為列：4+3+8=9+5+1=2+7+6=15；
斜對角：4+5+6=2+5+8=15。
為了簡單起見，構造幻方的時候，人們一般選取從1開始的若干個連續自然數，將其布列在正方形數表中。在這樣的約束條件下，數表中最大的一個數，總是象9、16、25、36、49、64、81這樣的平方數。
南宋算學家楊輝，是歷史上第一個系統的探討洛書河圖的數學原理的人。他考慮了洛書河圖各種有趣的推廣形式，當時稱之為縱橫圖。今天的人們，已經很少用縱橫圖這個名詞了，改稱為幻方。相比而言，縱橫圖重在對形制的描述，幻方強調了奇幻的數學特性。
在過去的短文中，我們總是選取中國人的縱橫圖研究成果。實際上，楊輝的成果，也流傳到了中國以外的地方。歷史上，有不少洋人，也非常喜歡研究幻方。這次的《道德經》主題中，我們改為採用洋人的研究成果，藉此表彰洋人對中國文化的發揚光大。
（一）基本數據
【一一】通行本老子《道德經》，第01章，正文總計59個漢字；
【一二】通行本老子《道德經》，第02章，正文總計88個漢字；
【一三】通行本老子《道德經》，第03章，正文總計67個漢字；
【一四】通行本老子《道德經》，第04章，正文總計42個漢字；
【一五】通行本老子《道德經》，第05章，正文總計45個漢字；
【一六】通行本老子《道德經》，第06章，正文總計25個漢字；
【一七】通行本老子《道德經》，第07章，正文總計49個漢字；
【一八】通行本老子《道德經》，第08章，正文總計50個漢字；
【一九】通行本老子《道德經》，第09章，正文總計39個漢字；
【二一】通行本老子《道德經》，第10章，正文總計69個漢字；
【二二】通行本老子《道德經》，第11章，正文總計49個漢字；
【二三】通行本老子《道德經》，第12章，正文總計49個漢字；
【二四】通行本老子《道德經》，第13章，正文總計81個漢字；
【二五】通行本老子《道德經》，第14章，正文總計94個漢字；
【二六】通行本老子《道德經》，第15章，正文總計97個漢字；
【二七】通行本老子《道德經》，第16章，正文總計67個漢字；
【二八】通行本老子《道德經》，第17章，正文總計44個漢字；
【二九】通行本老子《道德經》，第18章，正文總計26個漢字；
【三一】通行本老子《道德經》，第19章，正文總計45個漢字；
【三二】通行本老子《道德經》，第20章，正文總計132個漢字；
【三三】通行本老子《道德經》，第21章，正文總計71個漢字；
【三四】通行本老子《道德經》，第22章，正文總計78個漢字；
【三五】通行本老子《道德經》，第23章，正文總計88個漢字；
【三六】通行本老子《道德經》，第24章，正文總計47個漢字；
【三七】通行本老子《道德經》，第25章，正文總計85個漢字；
【三八】通行本老子《道德經》，第26章，正文總計47個漢字；
【三九】通行本老子《道德經》，第27章，正文總計91個漢字；
【四一】通行本老子《道德經》，第28章，正文總計86個漢字；
【四二】通行本老子《道德經》，第29章，正文總計58個漢字；
【四三】通行本老子《道德經》，第30章，正文總計75個漢字；
【四四】通行本老子《道德經》，第31章，正文總計117個漢字；
【四五】通行本老子《道德經》，第32章，正文總計71個漢字；
【四六】通行本老子《道德經》，第33章，正文總計38個漢字；
【四七】通行本老子《道德經》，第34章，正文總計61個漢字；
【四八】通行本老子《道德經》，第35章，正文總計43個漢字；
【四九】通行本老子《道德經》，第36章，正文總計56個漢字；
【五一】通行本老子《道德經》，第37章，正文總計50個漢字；
【五二】通行本老子《道德經》，第38章，正文總計129個漢字；
【五三】通行本老子《道德經》，第39章，正文總計134個漢字；
【五四】通行本老子《道德經》，第40章，正文總計21個漢字；
【五五】通行本老子《道德經》，第41章，正文總計95個漢字；
【五六】通行本老子《道德經》，第42章，正文總計73個漢字；
【五七】通行本老子《道德經》，第43章，正文總計39個漢字；
【五八】通行本老子《道德經》，第44章，正文總計39個漢字；
【五九】通行本老子《道德經》，第45章，正文總計40個漢字；
【六一】通行本老子《道德經》，第46章，正文總計39個漢字；
【六二】通行本老子《道德經》，第47章，正文總計36個漢字；
【六三】通行本老子《道德經》，第48章，正文總計40個漢字；
【六四】通行本老子《道德經》，第49章，正文總計64個漢字；
【六五】通行本老子《道德經》，第50章，正文總計80個漢字；
【六六】通行本老子《道德經》，第51章，正文總計72個漢字；
【六七】通行本老子《道德經》，第52章，正文總計72個漢字；
【六八】通行本老子《道德經》，第53章，正文總計52個漢字；
【六九】通行本老子《道德經》，第54章，正文總計91個漢字；
【七一】通行本老子《道德經》，第55章，正文總計81個漢字；
【七二】通行本老子《道德經》，第56章，正文總計66個漢字；
【七三】通行本老子《道德經》，第57章，正文總計88個漢字；
【七四】通行本老子《道德經》，第58章，正文總計70個漢字；
【七五】通行本老子《道德經》，第59章，正文總計64個漢字；
【七六】通行本老子《道德經》，第60章，正文總計48個漢字；
【七七】通行本老子《道德經》，第61章，正文總計82個漢字；
【七八】通行本老子《道德經》，第62章，正文總計80個漢字；
【七九】通行本老子《道德經》，第63章，正文總計79個漢字；
【八一】通行本老子《道德經》，第64章，正文總計125個漢字；
【八二】通行本老子《道德經》，第65章，正文總計69個漢字；
【八三】通行本老子《道德經》，第66章，正文總計76個漢字；
【八四】通行本老子《道德經》，第67章，正文總計99個漢字；
【八五】通行本老子《道德經》，第68章，正文總計43個漢字；
【八六】通行本老子《道德經》，第69章，正文總計54個漢字；
【八七】通行本老子《道德經》，第70章，正文總計47個漢字；
【八八】通行本老子《道德經》，第71章，正文總計28個漢字；
【八九】通行本老子《道德經》，第72章，正文總計45個漢字；
【九一】通行本老子《道德經》，第73章，正文總計64個漢字；
【九二】通行本老子《道德經》，第74章，正文總計59個漢字；
【九三】通行本老子《道德經》，第75章，正文總計53個漢字；
【九四】通行本老子《道德經》，第76章，正文總計57個漢字；
【九五】通行本老子《道德經》，第77章，正文總計79個漢字；
【九六】通行本老子《道德經》，第78章，正文總計64個漢字；
【九七】通行本老子《道德經》，第79章，正文總計40個漢字；
【九八】通行本老子《道德經》，第80章，正文總計75個漢字；
【九九】通行本老子《道德經》，第81章，正文總計57個漢字。
我們抄錄的老子《道德經》通行本，九九八十一章，各章正文總計5287個漢字。
（二）洛書方陣
下面介紹的九階幻方，出自一位洋人。洋人學習、研究中國文化，也是一把好手。數表中所包含的構造方法，非常著名，適合所有奇數階的情形，因而廣為流傳。
中國人，自古以來，喜歡在道術承傳中採用歌訣。洋人的幻方成果，回傳中國，又被咱們中國人變成了幾句歌訣。
一居上行正中央，依次斜填切莫忘；
上出框時放下填，右出框時左邊放；
排重便在下格填，右上排重一個樣。
47，58，69，80，01，12，23，34，45；
57，68，79，09，11，22，33，44，46；
67，78，08，10，21，32，43，54，56；
77，07，18，20，31，42，53，55，66；
06，17，19，30，41，52，63，65，76；
16，27，29，40，51，62，64，75，05；
26，28，39，50，61，72，74，04，15；
36，38，49，60，71，73，03，14，25；
37，48，59，70，81，02，13，24，35。
（1）行和計算
第一行，和為47+58+69+80+01+12+23+34+45=369；
第二行，和為57+68+79+09+11+22+33+44+46=369；
第三行，和為67+78+08+10+21+32+43+54+56=369；
第四行，和為77+07+18+20+31+42+53+55+66=369；
第五行，和為06+17+19+30+41+52+63+65+76=369；
第六行，和為16+27+29+40+51+62+64+75+05=369；
第七行，和為26+28+39+50+61+72+74+04+15=369；
第八行，和為36+38+49+60+71+73+03+14+25=369；
第九行，和為37+48+59+70+81+02+13+24+35=369。
（2）列和計算
第一列，和為47+57+67+77+06+16+26+36+37=369；
第二列，和為58+68+78+07+17+27+28+38+48=369；
第三列，和為69+79+08+18+19+29+39+49+59=369；
第四列，和為80+09+10+20+30+40+50+60+70=369；
第五列，和為01+11+21+31+41+51+61+71+81=369；
第六列，和為12+22+32+42+52+62+72+73+02=369；
第七列，和為23+33+43+53+63+64+74+03+13=369；
第八列，和為34+44+54+55+65+75+04+14+24=369；
第九列，和為45+46+56+66+76+05+15+25+35=369。
（3）斜線計算
主對角線，和為47+68+08+20+41+62+74+14+35=369；
副對角線，和為45+44+43+42+41+40+39+38+37=369。
計算表明，這一數表，是一個標準的九階幻方。觀察數表，可知{01,41,81}的排列居中，規規整整。我們對此非常滿意，因而選擇了洋人的這一幻方成果。
（三）章節排列
第47章，第58章，第69章，第80章，第01章，第12章，第23章，第34章，第45章；
第57章，第68章，第79章，第09章，第11章，第22章，第33章，第44章，第46章；
第67章，第78章，第08章，第10章，第21章，第32章，第43章，第54章，第56章；
第77章，第07章，第18章，第20章，第31章，第42章，第53章，第55章，第66章；
第06章，第17章，第19章，第30章，第41章，第52章，第63章，第65章，第76章；
第16章，第27章，第29章，第40章，第51章，第62章，第64章，第75章，第05章；
第26章，第28章，第39章，第50章，第61章，第72章，第74章，第04章，第15章；
第36章，第38章，第49章，第60章，第71章，第73章，第03章，第14章，第25章；
第37章，第48章，第59章，第70章，第81章，第02章，第13章，第24章，第35章。
（四）字數方陣
036，070，054，075，059，049，088，061，040；
088，043，040，039，049，078，038，039，039；
099，064，050，069，071，071，039，091，066；
079，049，026，132，117，073，052，081，076；
025，044，045，075，095，072，079，069，057；
067，091，058，021，072，080，125，053，045；
047，086，134，080，082，045，059，042，097；
056，129，064，048，028，064，067，094，085；
050，040，064，047，057，088，081，047，043。
（五）縱橫求和
（1）列和計算
第一列，和為036+088+099+079+025+067+047+056+050=547；
第二列，和為070+043+064+049+044+091+086+129+040=616；
第三列，和為054+040+050+026+045+058+134+064+064=535；
第四列，和為075+039+069+132+075+021+080+048+047=586；
第五列，和為059+049+071+117+095+072+082+028+057=630；
第六列，和為049+078+071+073+072+080+045+064+088=620；
第七列，和為088+038+039+052+079+125+059+067+081=628；
第八列，和為061+039+091+081+069+053+042+094+047=577；
第九列，和為040+039+066+076+057+045+097+085+043=548。
總和為547+616+535+586+630+620+628+577+548=5287。
（2）行和計算
第一行，和為036+070+054+075+059+049+088+061+040=532；
第二行，和為088+043+040+039+049+078+038+039+039=453；
第三行，和為099+064+050+069+071+071+039+091+066=620；
第四行，和為079+049+026+132+117+073+052+081+076=685；
第五行，和為025+044+045+075+095+072+079+069+057=561；
第六行，和為067+091+058+021+072+080+125+053+045=612；
第七行，和為047+086+134+080+082+045+059+042+097=672；
第八行，和為056+129+064+048+028+064+067+094+085=635；
第九行，和為050+040+064+047+057+088+081+047+043=517。
總和為532+453+620+685+561+612+672+635+517=5287。
（六）黃金分割
我們用Ω表示黃金比率，先建立部分與總體之間的關係式，然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此，誤差一般在千分之一以內。
（1）行的結構
①第一行+第二行+第三行+第六行+第七行+第八行+第九行=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：第一行+第二行+第三行+第六行+第七行+第八行+第九行
=532+453+620+612+672+635+517=4041，總和=5287，
Ω×Ω=4041÷2÷5287=0.3821……
然後開平方，解出Ω=0.6181……
②第四行+第五行=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：第四行+第五行
=685+561=1246，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=1246÷5287=0.2356……
然後開立方，解出Ω=0.6176……
③第一行+第二行+第三行+第四行+第五行+第七行+第九行=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：第一行+第二行+第三行+第四行+第五行+第七行+第九行
=532+453+620+685+561+672+517=4040，總和=5287，
Ω×Ω=4040÷2÷5287=0.3820……
然後開平方，解出Ω=0.6181……
④第六行+第八行=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：第六行+第八行
=612+635=1247，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=1247÷5287=0.2358……
然後開立方，解出Ω=0.6178……
⑤第四行+第五行+第六行+第八行=總和×Ω×Ω×Ω×2，第三層次黃金分割
驗算：第四行+第五行+第六行+第八行
=685+561+612+635=2493，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=2493÷2÷5287=0.2357……
然後開立方，解出Ω=0.6177……
⑥第一行+第二行+第三行+第七行+第九行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω，第二、四層次黃金分割
驗算：第一行+第二行+第三行+第七行+第九行
=532+453+620+672+517=2794，總和=5287，
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2794÷5287=0.5284……
這是一個四次方程，解出Ω=0.6183……
（2）列的結構
①第一列+第三列+第四列+第六列+第七列+第八列+第九列=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：第一列+第三列+第四列+第六列+第七列+第八列+第九列
=547+535+586+620+628+577+548=4041，總和=5287，
Ω×Ω=4041÷2÷5287=0.3821……
然後開平方，解出Ω=0.6181……
②第二列+第五列=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：第二列+第五列=616+630=1246，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=1246÷5287=0.2356……
然後開立方，解出Ω=0.6176……
③第一列+第二列+第三列+第四列+第五列+第八列+第九列=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：第一列+第二列+第三列+第四列+第五列+第八列+第九列
=547+616+535+586+630+577+548=4039，總和=5287，
Ω×Ω=4039÷2÷5287=0.3819……
然後開平方，解出Ω=0.6180……
④第六列+第七列=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：第六列+第七列=620+628=1248，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=1248÷5287=0.2360……
然後開立方，解出Ω=0.6180……
⑤第二列+第五列+第六列+第七列=總和×Ω×Ω×Ω×2，第三層次黃金分割
驗算：第二列+第五列+第六列+第七列
=616+630+620+628=2494，總和=5287，
Ω×Ω×Ω=2494÷2÷5287=0.2358……
然後開立方，解出Ω=0.6178……
⑥第一列+第三列+第四列+第八列+第九列=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω，第二、四層次黃金分割
驗算：第一列+第三列+第四列+第八列+第九列
=547+535+586+577+548=2793，總和=5287，
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2793÷5287=0.5282……
這是一個四次方程，解出Ω=0.6182……
總體而言，我們觀察到：行與列，包含有如下兩種不同的模式。
總和
=總和×Ω×Ω×2+總和×Ω×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω×Ω×2+（總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω）
依照前面短文中的術語，這是一個標準黃金方陣。
