算術漫談:旋機在洛書中的體現

九數

【正見網2008年10月29日】

仰觀天文,星移鬥轉,烏飛兔走。在人類眼中,天地蒼穹就是一部大旋機。本篇繼續以數字算術的方式解洛書,探討的是洛書中的旋轉機制,也就是旋機是怎樣在洛書中體現的。

四九二
三五七
八一六

先介紹一個關於洛書的基本觀點。洛書,人們一般認為是方圖。比如九宮數的排列,三行三列,分明是一個正方形的樣子。如此,洛書也就被說成了方圖。然而,這個說法,只算一半;還有另一半,洛書也可以說成是圓圖。古人的解釋很簡單,九五一、三五七、四五六、二五八,這四組數的和都是十五,和「圓的直徑等長」這條圓的性質非常一致。如此,洛書也被說成是以數字五為圓心的一個圓圖,其餘八數則均勻分布在圓周上。

歷史上,對這個洛書涵蓋方圓的問題,講的最清楚的是清代萬年淳。萬年淳,乾隆舉人,當過縣太爺,著有《洞庭湖志》。在萬年淳的儒學著作中,有一個外圓內方洛書圖式。遍搜古人著述,我以為此圖深合天機。

外圓內方洛書圖式的構造如下:

畫一個圓,將五放在圓心,其餘八個數放在圓周上,構成漢字「米」的形狀。九在上,一在下;三在左,七在右;四在左上,六在右下;二在右上,八在左下。
接著,四二相連,二六相連,六八相連,八四相連。這是偶數正方形。
接著,九七相連,七一相連,一三相連,三九相連。這是奇數正方形。
如此,外圓內方的洛書圖式已成。

萬年淳的外圓內方洛書圖式是靜態呈現,現在我們考慮這一圖式的動態效果。取兩張外圓內方洛書圖式,按照下面的方式添加指向箭頭:

第一圖,四指向二,二指向六,六指向八,八指向四;九指向七,七指向一,一指向三,三指向九;九指向二,二指向七,七指向六,六指向一,一指向八,八指向三,三指向四,四指向九。這個圖稱為正向旋機圖。
第二圖,四指向八,八指向六,六指向二,二指向四;九指向三,三指向一,一指向七,七指向九;九指向四,四指向三,三指向八,八指向一,一指向六,六指向七,七指向二,二指向九。這個圖稱為反向旋機圖。

我們的圖已經製作好了,現在可以取數作算術了。取數的方法,仍然是正向旋機圖和反向旋機圖對映取數。

偶數四分之一圓弧

正向取數:四九二,二七六,六一八,八三四。
反向取數:四三八,八一六,六七二,二九四。
492+276+618+834=2220
438+816+672+294=
492^2+276^2+618^2+834^2=1395720
438^2+816^2+672^2+294^2=
492^3+276^3+618^3+834^3=956242800
438^3+816^3+672^3+294^3=

有位朋友提醒我,說你這些算式不會是錯的吧,要是瞎編的,那可影響不好啊,咱們要注意文章質量。哈哈,這個提醒好,這第一道算術,就留一半給看文的朋友自己來算吧。補充說明一下符號,^2表示平方,^3表示立方。

奇數四分之一圓弧

正向取數:九二七,七六一,一八三,三四九。
反向取數:九四三,三八一,一六七,七二九。
927+761+183+349=2220
943+381+167+729=2220
927^2+761^2+183^2+349^2=1593740
943^2+381^2+167^2+729^2=1593740
927^3+761^3+183^3+349^3=1285946100
943^3+381^3+167^3+729^3=1285946100

偶數圓周

正向取數:四九二七六一八三,二七六一八三四九,六一八三四九二七,八三四九二七六一。
反向取數:四三八一六七二九,八一六七二九四三,六七二九四三八一,二九四三八一六七。
49276183+27618349+61834927+83492761=222222220
43816729+81672943+67294381+29438167=222222220
49276183^2+27618349^2+61834927^2+83492761^2=13985514749033740
43816729^2+81672943^2+67294381^2+29438167^2=13985514749033740
49276183^3+27618349^3+61834927^3+83492761^3=959177030199175157646100
43816729^3+81672943^3+67294381^3+29438167^3=959177030199175157646100

奇數圓周

正向取數:九二七六一八三四,七六一八三四九二,一八三四九二七六,三四九二七六一八。
反向取數:九四三八一六七二,三八一六七二九四,一六七二九四三八,七二九四三八一六。
92761834+76183492+18349276+34927618=222222220
94381672+38167294+16729438+72943816=222222220
92761834^2+76183492^2+18349276^2+34927618^2=15965316729235720
94381672^2+38167294^2+16729438^2+72943816^2=15965316729235720
92761834^3+76183492^3+18349276^3+34927618^3=1289144023599835190642800
94381672^3+38167294^3+16729438^3+72943816^3=1289144023599835190642800

這裡指出一點,實際上,一切的情形已經包含在「偶數圓周」和「奇數圓周」這兩種情況中了。請注意,從一到九,只有九個數字,不用五的話,組成沒有重複數字的數,最多只有八位數。因此,這兩種情形已經達到了極限情形。至於用五的話,那要求正向取數和反向取數在相同的數位上,同時都是五。這一點,在前面的一篇漫談文中,談及萬字符的時候,已經有範例了。

奇數正方形
正向取數:九七,七一,一三,三九。
反向取數:九三,三一,一七,七九。
97+71+13+39=220
93+31+17+79=220
97^2+71^2+13^2+39^2=16140
93^2+31^2+17^2+79^2=16140
97^3+71^3+13^3+39^3=1332100
93^3+31^3+17^3+79^3=1332100

偶數正方形
正向取數:四二,二六,六八,八四。
反向取數:四八,八六,六二,二四。
42+26+68+84=220
48+86+62+24=220
42^2+26^2+68^2+84^2=14120
48^2+86^2+62^2+24^2=14120
42^3+26^3+68^3+84^3=998800
48^3+86^3+62^3+24^3=998800

最後,給看文的朋友留一點算術練習吧。

直線圓弧
正向取數:四二七,二六一,六八三,八四九。
反向取數:四八一,八六七,六二九,二四三。
427+261+683+849=
481+867+629+243=
427^2+261^2+683^2+849^2=
481^2+867^2+629^2+243^2=
427^3+261^3+683^3+849^3=
481^3+867^3+629^3+243^3=

一般來說,正向取數為a,b,c,d;反向取數為e,f,g,h,那麼就有,
數之和等:a+b+c+d=e+f+g+h;
平方和等:a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2;
立方和等:a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3。

我們寫了這麼多算式,實際上,所取的數可以達到任意大的成度,比如可以繞圈子循環自如的取數,這樣選八個九萬九千九百九十九位數,都是很輕鬆的。

九數有盡,算式無窮。

有的朋友一定會思考,這些平方等和、立方等和現象的背後,有沒有更深的內涵呢?這個問題已經接近本質,我知道更深的東西是什麼。這裡只寫一句開玩笑的話,答案與天地人三才之道有關。如果有機會再寫解洛書的文,或許我會詳細的談一談這個問題。說實話,作算術文章有點辛苦呢,需要反覆演算,確認結果正確無誤。

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