祖沖之

李揚 整理

【正見網2002年06月14日】

祖沖之(429~500),字文遠,南北朝時期范陽遒郡(今河北淶源)人,公元429年生於建康(今江蘇南京)一個官宦人家,這個家庭的歷代成員大都對天文曆法有些研究。祖沖之曾作過州從事史,公府參軍,縣令,最高官至長水校尉,享受四品俸祿,公元500年去世。

在天文曆法方面,祖沖之創製了《大明曆》。雖然他定的歲差值精度不高(45年11月差一度,按今測,應約七十多年才差一度),但他最早把歲差引進曆法,這是中國曆法史上的一個重大進步,對後世提高曆法準確性有重要意義。他採用了391年中有144個閏月的精密的新閏周。《大明曆》中使用的其他數據大多相當精確。如以一個回歸年的日數為365.2428日,以一交點月的日數為27.21223日等。他還改進了前代關於木星公轉周期的數值,得出木星(當時叫歲星)每84年超辰一次的結論,這相當於求出木星公轉周期為11.858年。《大明曆》中的五大行星會合周期,也是當時比較精確的數值。他發明了用圭表測量冬至前後若干天的正午太陽影長以定冬至時刻的方法,這個方法也為後世長期採用。
  
祖沖之在數學上的傑出成就,是關於圓周率的計算。圓周率π的計算,標誌著一個國家和民族的數學水平。中國古代也和世界上任何文化開發較早的國家和地區一樣,人們最早使用的圓周率是3。這一誤差很大的數值一直沿用到漢代。入漢以後,對圓周率的改進吸引了不少科學家的注意,都作了一些工作。最為重要的是魏晉時期的數學家劉徽,用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長。劉徽計算到圓內接96邊形, 求得π=3.14,並指出,內接正多邊形的邊數越多,所求得的π值越精確.祖沖之在前人成就的基礎上,經過刻苦鑽研,反覆演算,求出π在3.1415926與3.1415927之間.並得出了π分數形式的近似值,取為約率和密率,其中取六位小數是3.141593,它是分子分母在1000以內最接近π值的分數.

關於祖沖之在園周率方面的工作,其史料僅見於《隋書・律曆志》。其中還記載說,祖沖之還給出了園周率的兩個近似分數值:

  密率:π=355/113,小數點後6位準確,
  約率:π=22/7,小數點後2位準確。  

關於祖沖之是如何算得如此精密的結果,沒有任何史料流傳下來,這是非常遺憾的。不過根據當時的情況判斷,祖沖之用的仍是劉徽的「割園術」。果真如此的話,祖沖之需要計算出園內接正12288邊形和正24576邊形的面積,要進行加、減、乘、除、開方等運算達130次以上,每次運算都要精確到9位數字,可以想像,在當時用羅列算籌來計算,是需要何等的精心與超人的毅力。在歐洲,1100多年後才算得355/113這一數值,被稱為「安東尼茲率」。日本數學家三上義夫在1912年提出應稱π=355/113為「祖率」。

關於球體體積的計算,是祖沖之及其兒子祖(日桓)在數學方面又一項了不起的成就。祖氏父子根據劉徽在「九章算術注」中提出的正確方法,求得了球體體積公式:球體積=4/3πγ3。

在導出球體積公式的過程中,祖氏父子總結出了所謂的「祖氏原理」。在西方這一原理被稱為「卡瓦列裡原理」,但它的發現者義大利數學家卡瓦列裡(B.Cavalieri 1598~1647)比祖氏父子要晚1100多年。

還可以說祖沖之是著名的機械專家。他重造了當時已經失傳了的指南車,隨便車子怎樣轉彎,車上的銅人總是指著南方;他又造過「千裡船」,在新亭江(在今南京市西南)上試航過,一天可以航行一百多裡。他還利用水力轉動石磨,舂米碾穀子,叫做「水碓磨」,是當時世界上先進的糧食加工機械;他還設計並製成了計時器--漏壺和巧妙的欹器。

此外,祖沖之也精通音律,甚至還寫過小說《述異記》十卷。祖沖之著述很多,據《隋書・經籍志》記載,有《長水校尉祖沖之集》五十一卷。散見於各種史籍記載的有:《綴術》、《九章述義注》、《大明曆》、《駁議》、《安邊論》、《述異記》、《易老莊義釋》、《論語孝經注》等。但其中絕大部分著作都已失傳。現在僅能見到《上大明曆表》、《大明曆》、《駁議》、《開立圓術》等幾篇。

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