算術漫談:《周易》卦序與黃金分割

九數

【正見網2012年01月26日】

又有很久沒有繼續這個漫談了,去年(西元2011)生活發生了很大的變化。本文的靈感湧現於冬至時節,當時人在北方,冬至夜記錄了草稿。正值過年,今天拿出來,完成了這篇短文。原始計算比較冗長,本文截取其中比較簡練的部分。

引子:邵雍的千年預言

邵雍是北宋理學家,一生詩作,數以三千計。匯集之後,成為《伊川擊壤集》。

邵雍《生日吟》
祥符辛亥十二月二十五日

辛亥年,辛丑月,
甲子日,甲戌時,
日辰同甲,年月同辛,
吾於此際,生而為人。

史載,北宋大中祥符四年,邵雍出生在河北范陽。邵雍生日為「祥符辛亥十二月二十五日」,轉換成陽曆,當為西元1012年1月21日。(說明:此處抄錄維基百科數據,未核對萬年曆。)

邵雍《老去吟》

老去無成鬢已斑,縱心年幾合輕閒。
如何得意雲山外,更欲游心詩酒間。
大字寫詩酬素志,小杯斟酒發酡顏。
春雷驚起千年蟄,筆下蒼龍自往還。

需要注意的是,最末句「春雷驚起千年蟄,筆下蒼龍自往還。」這就是我們所說的「千年預言」。2012-1012=1000,從西元1012年到西元2012年,恰好一千年。

2012年立春之後,屬於壬辰年,即俗語所說的龍年。

邵雍《冬至吟》

何者謂之幾,天根理極微。
今年初盡處,明日未來時。
此際易得意,其間難小辭。
人能知此意,何事不能知。

邵雍《觀易吟》

耳目聰明男子身,洪鈞賦與不為貧。
須探月窟方知物,未識天根不識人。
乾遇巽時觀月窟,地逢雷處識天根。
天根月窟常來往,三十六宮都是春。

「三十六宮都是春」,這是本文的靈感源泉。九數很早就知道這句話,未曾想到,因為這句話,我會寫這篇文章。人生因緣,不可思議。

本文沿著邵雍指引的道路繼續開拓,我們將看到通行本《周易》卦序,經過一個簡單的映射,結果呈現出奇妙的黃金分割。

(一)《周易》卦序

通行本《周易》,有一篇《序卦》,此文記錄了六十四卦的排列順序。即使我們「韋編三絕」,也不會因為沒有秩序,而導致竹簡錯亂。

[1]經典格局
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以「上經」與「下經」標記。

上經:乾卦,坤卦,屯卦,蒙卦,需卦,訟卦,師卦,比卦,小畜,履卦,泰卦,否卦,同人,大有,謙卦,豫卦,隨卦,蠱卦,臨卦,觀卦,噬嗑,賁卦,剝卦,復卦,無妄,大畜,頤卦,大過,坎卦,離卦。

下經:咸卦,恆卦,唏卦,大壯,晉卦,明夷,家人,睽卦,蹇卦,解卦,損卦,益卦,??裕?ヘ裕?拓裕??裕?ж裕??裕?鎵裕?ω裕?鷺裕?撟裕?ヘ裕?槊茫?嶝裕?秘裕?闔裕?邑裕?霖裕?謫裕?墟冢?」??燃茫?醇謾?p>[2]差異結構

按照普通的想法,六十四卦,應該平均分才好,各取三十二。然而,我們的祖先流傳下來的《易經》,上經三十卦,下經三十四卦。並非均分,為什麼會這樣呢?

對此差異,古人作了許多闡述,其中最有影響的就是「三十六宮」之說。

(二)三十六宮

三十六宮之數,很早就有。
東漢班固《西都賦》云:離宮別館,三十六所。
唐朝駱賓王《帝京篇》云:秦塞重關一百二,漢家離宮三十六。

北宋邵雍說「三十六宮都是春」,講的是易學道理。

南宋朱熹《朱子語類》云:以正對卦合反對卦觀之,總而為三十六卦。

明代來知德《周易集注》云:文王繼伏羲,分上經為十八,分下經為十八。

古儒們認為,按照通行本《周易》,六十四卦可以劃分為三十六宮,其中上經十八宮,下經十八宮。

我們將陽爻(―)換成數字1,陰爻(- -)換成數字0,這樣每個卦可以換成一個六位數。我們約定,自初爻至上爻,轉換為自首位至末位。假定得出一個六位數abcdef,那麼初爻為a,二爻為b,三爻為c,四爻為d,五爻為e,上爻為f。

上經
第01宮:乾卦111111;
第02宮:坤卦000000;
第03宮:屯卦100010,蒙卦010001;
第04宮:需卦111010,訟卦010111;
第05宮:師卦010000,比卦000010;
第06宮:小畜111011,履卦110111;
第07宮:泰卦111000,否卦000111;
第08宮:同人101111,大有111101;
第09宮:謙卦001000,豫卦000100;
第10宮:隨卦100110,蠱卦011001;
第11宮:臨卦110000,觀卦000011;
第12宮:噬嗑100101,賁卦101001;
第13宮:剝卦000001,復卦100000;
第14宮:無妄100111,大畜111001;
第15宮:頤卦100001;
第16宮:大過011110;
第17宮:坎卦010010;
第18宮:離卦101101。

下經
第19宮:咸卦001110,恆卦011100;
第20宮:唏卦001111,大壯111100;
第21宮:晉卦000101,明夷101000;
第22宮:家人101011,睽卦110101;
第23宮:蹇卦001010,解卦010100;
第24宮:損卦110001,益卦100011;
第25宮:???11110,Sヘ?11111;
第26宮:萃卦000110,升卦011000;
第27宮:困卦010110,井卦011010;
第28宮:革卦101110,鼎卦011101;
第29宮:震卦100100,艮卦001001;
第30宮:漸卦001011,歸妹110100;
第31宮:豐卦101100,旅卦001101;
第32宮:巽卦011011,兌卦110110;
第33宮:渙卦010011,節卦110010;
第34宮:中孚110011;
第35宮:小過001100;
第36宮:既濟101010,未濟010101。

(三)六爻賦值

我們已經將全部的《周易》六十四卦,用六十四個六位數表示出來了。當年,德國人萊布尼茲,天才的將這些六位數看作是二進制數,由此發現邵雍的先天易學「外圓內方」圖原來具有高度的數學秩序。

然而,當萊布尼茲面對通行本的《周易》卦序時,他感到困惑,百思不得其解。

我們知道,萊布尼茲的看法,實質是將六位數abcdef映射為32a+16b+8c+4d+2e+f,相當於將由0與1表示的六位數一律往二進制數映射。

可是,萊布尼茲的這種映射方式,不足以揭示通行本的《周易》卦序具有三十六宮的特性。

世人,多知八八六十四卦,少知六六三十六宮。

[1]楊輝三角
1 ←太極
1,1 ←兩儀
1,2,1 ←四象
1,3,3,1 ←八卦
1,4,6,4,1
1,5,10,10,5,1
1,6,15,20,15,6,1←周易

我們多次抄寫這個三角數陣,當年北宋賈憲發表了這一數陣,被南宋楊輝記錄下來了。因此後世得以知道我們的祖先,在很久以前就懂牛頓二項式定理。為了表彰楊輝的歷史功績,今天一般稱之為楊輝三角。

實際上,南宋朱熹在《周易本義》中所闡發的「卦變學說」,也包括了對這個三角數陣的充分認識。

為了將通行本的《周易》卦序蘊涵三十六宮的特性揭示出來,我們考慮一個具有對稱屬性的映射:將六位數abcdef映射為1a+5b+10c+10d+5e+1f。

即對每個六位數abcdef賦值,abcdef→a+5b+10c+10d+5e+f。為什麼要這樣呢?我們能夠看到六位數abcdef→a+5b+10c+10d+5e+f與六位數fedcba→f+5e+10d+10c+5b+a具有相同的結果。

[2]分宮計算
按照六位數abcdef→a+5b+10c+10d+5e+f的算法,我們對三十六宮逐個賦值計算。

上經
第01宮:乾卦111111, 賦值→1+5+10+10+5+1=32;
第02宮:坤卦000000, 賦值→0;
第03宮:屯卦100010,蒙卦010001,賦值→1+5=5+1=6;
第04宮:需卦111010,訟卦010111,賦值→1+5+10+5=5+10+5+1=21;
第05宮:師卦010000,比卦000010,賦值→5=5;
第06宮:小畜111011,履卦110111,賦值→1+5+10+5+1=1+5+10+5+1=22;
第07宮:泰卦111000,否卦000111,賦值→1+5+10=10+5+1=16;
第08宮:同人101111,大有111101,賦值→1+10+10+5+1=1+5+10+10+1=27;
第09宮:謙卦001000,豫卦000100,賦值→10=10;
第10宮:隨卦100110,蠱卦011001,賦值→1+10+5=5+10+1=16;
第11宮:臨卦110000,觀卦000011,賦值→1+5=5+1=6;
第12宮:噬嗑100101,賁卦101001,賦值→1+10+1=1+10+1=12;
第13宮:剝卦000001,復卦100000,賦值→1=1;
第14宮:無妄100111,大畜111001,賦值→1+10+5+1=1+5+10+1=17;
第15宮:頤卦100001, 賦值→1+1=2;
第16宮:大過011110, 賦值→5+10+10+5=30;
第17宮:坎卦010010, 賦值→5+5=10;
第18宮:離卦101101, 賦值→1+10+10+1=22。

下經
第19宮:咸卦001110,恆卦011100,賦值→10+10+5=25=5+10+10=25;
第20宮:唏卦001111,大壯111100,賦值→10+10+5+1=26;
第21宮:晉卦000101,明夷101000,賦值→10+1=1+10=11;
第22宮:家人101011,睽卦110101,賦值→1+10+5+1=1+5+10+1=17;
第23宮:蹇卦001010,解卦010100,賦值→10+5=5+10=15;
第24宮:損卦110001,益卦100011,賦值→1+5+1=1+5+1=7;
第25宮:???11110,Sヘ?11111,賦值→1+5+10+10+5=5+10+10+5+1=31;
第26宮:萃卦000110,升卦011000,賦值→10+5=5+10=15;
第27宮:困卦010110,井卦011010,賦值→5+10+5=5+10+5=20;
第28宮:革卦101110,鼎卦011101,賦值→1+10+10+5=5+10+10+1=26;
第29宮:震卦100100,艮卦001001,賦值→1+10=10+1=11;
第30宮:漸卦001011,歸妹110100,賦值→10+5+1=1+5+10=16;
第31宮:豐卦101100,旅卦001101,賦值→1+10+10=10+10+1=21;
第32宮:巽卦011011,兌卦110110,賦值→5+10+5+1=1+5+10+5=21;
第33宮:渙卦010011,節卦110010,賦值→5+5+1=1+5+5=11;
第34宮:中孚110011, 賦值→1+5+5+1=12;
第35宮:小過001100, 賦值→10+10=20;
第36宮:既濟101010,未濟010101,賦值→1+10+5=5+10+1=16。

(四) 方陣排列

我們將上面的計算結果,予以整理。

[1]上下十八
上經
第01宮32,第02宮0, 第03宮6, 第04宮21,第05宮5, 第06宮22;
第07宮16,第08宮27,第09宮10,第10宮16,第11宮6, 第12宮12;
第13宮1, 第14宮17,第15宮2, 第16宮30,第17宮10,第18宮22。

下經
第19宮25,第20宮26,第21宮11,第22宮17,第23宮15,第24宮7;
第25宮31,第26宮15,第27宮20,第28宮26,第29宮11,第30宮16;
第31宮21,第32宮21,第33宮11,第34宮12,第35宮20,第36宮16。

[2]六行六列
我們將全部三十六宮的數據,排列成方陣,得出一個六行六列的樣式。為書寫方便,用x(ij)表示第i行第j列的數值,其中i,j取值為1~6。

x(11)=32,x(12)=0, x(13)=6, x(14)=21,x(15)=5, x(16)=22;
x(21)=16,x(22)=27,x(23)=10,x(24)=16,x(25)=6, x(26)=12;
x(31)=1, x(32)=17,x(33)=2, x(34)=30,x(35)=10,x(36)=22。
x(41)=25,x(42)=26,x(43)=11,x(44)=17,x(45)=15,x(46)=7;
x(51)=31,x(52)=15,x(53)=20,x(54)=26,x(55)=11,x(56)=16;
x(61)=21,x(62)=21,x(63)=11,x(64)=12,x(65)=20,x(66)=16。

[3]黑白分明
○○●●●●
●●●○○○
●●●●○○
●●●○○○
○○●●●●
●●●●○○

後文中,我們將對每行的六個數,作一個黃金分割。其分割方式,由這裡的●○給出。每行中,採用連續取數,出乎自然。

我們數一下,發現●有22宮,○有14宮,總計36宮。這個布局,本身就符合黃金分割。
驗算:36×0.618=22.248≈22,36×(1-0.618)=13.752≈14。
結論:前者過剩,後者不足,誤差不超過0.3。

(五)黃金分割
[1]分行計算
第一行○○●●●●
x(11)=32,x(12)=0,x(13)=6,x(14)=21,x(15)=5,x(16)=22;
○段二數之和x(11)+x(12)=32+0=32;
●段四數之和x(13)+x(14)+x(15)+x(16)=6+21+5+22=54;
全部六數之和x(11)+x(12)+ x(13)+x(14)+x(15)+x(16)=32+54=86。
驗算:86×0.618=53.148≈54,86×(1-0.618)=32.852≈32。
結論:前者不足,後者過剩,誤差不超過0.9。

第二行●●●○○○
x(21)=16,x(22)=27,x(23)=10,x(24)=16,x(25)=6, x(26)=12;
●段三數之和x(21)+x(22)+x(23)=16+27+10=53;
○段三數之和x(24)+x(25)+x(26)=16+6+12=34;
全部六數之和x(21)+x(22)+x(23)+ x(24)+x(25)+x(26)=53+34=87。
驗算:87×0.618=53.766≈53,87×(1-0.618)=33.234≈34。
結論:前者過剩,後者不足,誤差不超過0.8。

第三行●●●●○○
x(31)=1, x(32)=17,x(33)=2, x(34)=30,x(35)=10,x(36)=22。
●段四數之和x(31)+x(32)+x(33)+x(34)=1+17+2+30=50;
○段二數之和x(35)+x(36)=10+22=32;
全部六數之和x(31)+x(32)+x(33)+x(34)+ x(35)+x(36)=50+32=82。
驗算:82×0.618=50.676≈50,82×(1-0.618)=31.324≈32。
結論:前者過剩,後者不足,誤差不超過0.7。

第四行●●●○○○
x(41)=25,x(42)=26,x(43)=11,x(44)=17,x(45)=15,x(46)=7;
●段三數之和x(41)+x(42)+x(43)=25+26+11=62;
○段三數之和x(44)+x(45)+x(46)=17+15+7=39;
全部六數之和x(41)+x(42)+x(43)+ x(44)+x(45)+x(46)=62+39=101。
驗算:101×0.618=62.418≈62,101×(1-0.618)=38.582≈39。
結論:前者過剩,後者不足,誤差不超過0.5。

第五行○○●●●●
x(51)=31,x(52)=15,x(53)=20,x(54)=26,x(55)=11,x(56)=16;
○段二數之和x(51)+x(52)=31+15=46;
●段四數之和x(53)+x(54)+x(55)+x(56)=20+26+11+16=73;
全部六數之和x(51)+x(52)+ x(53)+x(54)+x(55)+x(56)=46+73=119。
驗算:119×0.618=73.542≈73,119×(1-0.618)=45.458≈46。
結論:前者過剩,後者不足,誤差不超過0.6。

第六行●●●●○○
x(61)=21,x(62)=21,x(63)=11,x(64)=12,x(65)=20,x(66)=16。
●段四數之和x(61)+x(62)+x(63)+x(64)=21+21+11+12=65;
○段二數之和x(65)+x(66)=20+16=36;
全部六數之和x(61)+x(62)+x(63)+x(64)+ x(65)+x(66)=65+36=101。
驗算:101×0.618=62.418≈65,101×(1-0.618)=38.582≈36。
結論:前者不足,後者過剩,誤差略大。

有人會問,為什麼你的計算有誤差呢?這是因為黃金比精確值為(√5-1)/2=0.6180339......,是一個無理數,近似為0.618。因此我們上面的整數與黃金比相乘,所得必然帶有小數。考慮到0.618≈1,因此只要誤差不超過1,那麼黃金分割的精準就可以確認了。

[2]分塊計算
左邊二列
x(11)=32,x(12)=0;
x(21)=16,x(22)=27;
x(31)=1, x(32)=17;
x(41)=25,x(42)=26。
x(51)=31,x(52)=15;
x(61)=21,x(62)=21。
前四行之和x(11)+x(12)+......+x(41)+x(42)=32+0+16+27+1+17+25+26=144;
後二行之和x(51)+x(52)+x(61)+x(62)=31+15+21+21=88;
全部六行之和x(11)+x(12)+......+x(61)+x(62)=144+88=232。
驗算:232×0.618=143.376≈144,232×(1-0.618)=88.624≈88。
結論:前者不足,後者過剩,誤差不超過0.7。

右邊四列
x(13)=6, x(14)=21,x(15)=5, x(16)=22;
x(23)=10,x(24)=16,x(25)=6, x(26)=12;
x(33)=2, x(34)=30,x(35)=10,x(36)=22;
x(43)=11,x(44)=17,x(45)=15,x(46)=7。
x(53)=20,x(54)=26,x(55)=11,x(56)=16;
x(63)=11,x(64)=12,x(65)=20,x(66)=16。
前四行之和x(13)+x(14)+......x(45)+x(46)
=6+21+5+22+10+16+6+12+2+30+10+22+11+17+15+7=212;
後二行之和x(53)+x(54)+......x(55)+x(56)
=20+26+11+16+11+12+20+16=132;
全部六行之和x(13)+x(14)+......x(65)+x(66)=212+132=344。
驗算:344×0.618=212.592≈212,344×(1-0.618)=131.408≈132。
結論:前者不足,後者過剩,誤差不超過0.6。

[3]整體計算
x(11)=32,x(12)=0, x(13)=6, x(14)=21,x(15)=5, x(16)=22;
x(21)=16,x(22)=27,x(23)=10,x(24)=16,x(25)=6, x(26)=12;
x(31)=1, x(32)=17,x(33)=2, x(34)=30,x(35)=10,x(36)=22。
x(41)=25,x(42)=26,x(43)=11,x(44)=17,x(45)=15,x(46)=7;
x(51)=31,x(52)=15,x(53)=20,x(54)=26,x(55)=11,x(56)=16;
x(61)=21,x(62)=21,x(63)=11,x(64)=12,x(65)=20,x(66)=16。
前四行之和x(11)+......+x(46)=86+87+82+101=356;
後二行之和x(51)+......+x(66)=119+101=220;
全部六行之和x(11)+......+x(66)=356+220=576。
驗算:576×0.618=355.968≈356,576×(1-0.618)=220.032≈220。

結論:前者不足,後者過剩,誤差不超過0.05。

實際上,這組「整體計算」的數據,在所有的計算中,最為有趣。其取數方式最簡潔,精度卻是極高!我們看一下除法,356÷576=0.61805……可見得數與黃金比0.618甚為接近。

最後說明一點,本文起源於冬至日深夜子時九數獲得的一個靈感。九數只是記錄了觀察到的現象。寫成本文,九數就算完成任務了。至於現象本身的意義,就留給大家思考吧。

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