算術漫談:河圖中的數字規律

九數

【正見網2008年10月24日】

漫談算術,先論洛書,後談八卦,已有二篇,本篇解河圖。古聖先賢,推卦演易,不外乎理、氣、象、數。

古人云:天一生水,地六成之。這是古人的說法,歷代衍生出無數的著作。看上去,古人的說法,理論比較完備,有天有地,有陰有陽,有五行,有金木水火土,有諸數。

現代人,已經淡忘了古老的文化。在今天這個時代,人們看河圖,不過是一、二、三、四、五、六、七、八、九、十,按照某種特殊的方式排列而成。

我們走出古人的那種敘說方式,以數字的角度,從新解讀河圖。其實,即便是六歲的幼稚孩童,也可以認識河圖的。此種圓點表示數的圖式,對於開啟兒童的算術智慧有極高的價值。

先說河圖的排列方式。五放在中間,以上下左右來論,此為中。五之左,放三;三之左,放八。五之右,放四;四之右,放九。五之上,放二;二之上,放七。五之下,放一;一之下,放六。環繞五,放十,在中間。如此,諸數具足,河圖已成。

河圖

觀察一下河圖,橫看,自左至右,依次為八、三、五、四、九;縱看,自上而下,依次為七、二、五、一、六;十在五旁。

圖中有諸數,可歸為五組。上方,有七、二;下方,有六、一;左方,有八、三;右方,有九、四;中間,有十、五。

河圖,自古以來多用圓點表示數,可以排列成圓圖的形式。我們這裡用數字,看上去是縱橫圖。

規律之一:珠算

在珠算之前,人們用的是籌算。今天的人熟悉珠算,不太了解籌算。我們以珠算為例。

在算盤上,用算珠表示數。上珠一顆表示五,下珠一顆表示一。上下相合,珠落數出,可以簡約的表示大數。這是加法。

下方,五一六,5+1=6;
上方,五二七,5+2=7;
左方,五三八,5+3=8;
右方,五四九,5+4=9;
中間,五十,5+5=10。

也可以用來表示減法,這相當於,撥去上珠。

下方,五一六,6-5=1;
上方,五二七,7-5=2;
左方,五三八,8-5=3;
右方,五四九,9-5=4;
中間,五十,10-5=5。

還可以用來表示進位規律。

下方,五一六,5+6=1+10;
上方,五二七,5+7=2+10;
左方,五三八,5+8=3+10;
右方,五四九,5+9=4+10。

古人發明珠算,採用的是五升十進制,下位滿五,向上位升一;本位滿十,向高位進一。

今天的時代,珠算依然有深厚的生命力。珠算的生命力,根基全在於加減運算。

規律之二:旋轉

取兩張河圖,按照下面的方式連線。

第一圖,七四相連,八二相連,六三相連,九一相連。
第二圖,七三相連,八一相連,六和四相連,九二相連。

兩張圖對照,仔細看一下,第一圖是左手螺旋圖,順時針方向;第二圖是右手螺旋圖,反時針方向。

兩張圖,按照相同的方法取數,可以得出有趣的數字規律。

先看內旋模式。
74+82+63+91=310
73+81+64+92=310
74^2+82^2+63^2+91^2=24450
73^2+81^2+64^2+92^2=24450
[註:3^2表示三的平方,三三得九,其餘類似。]

接著看外旋模式。
47+28+36+19=130
37+29+46+18=130
47^2+28^2+36^2+19^2=4650
37^2+29^2+46^2+18^2=4650

上面的取數方法,沒有用五,取的是兩位數,如果取三位數,也可以。將一、二、三、四都與五相連。

先看內旋模式。
745+825+635+915=3120
735+815+645+925=3120
745^2+825^2+635^2+915^2=2476100
735^2+815^2+645^2+925^2=2476100

接著看外旋模式。
547+528+536+519=2130
537+529+546+518=2130
547^2+528^2+536^2+519^2=1134650
537^2+529^2+546^2+518^2=1134650
相比之下,取三位數,更符合旋轉圖有個旋轉中心的規律。

上面的數字規律,運用了加法和平方。如果,按照別的方式取數,還可以發現一些有趣的數字規律。比如,可以用乘法,這裡就不多寫了。

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