算術漫談:河圖洛書的中介形式

河圖與洛書,這兩張圖,有許多相同的特點。按照古人的說法:一六共宗,二七同道,三八為朋,四九為友,五十同德。表現在圖上,就是某些數總是排列在相鄰位置上。正是這個原因,造成了河圖洛書中出現了某些算術上的有趣現象。

在前面的短文中,我們已經看見了許多平方等和、立方等和的現象。然而,洛書中有無數的立方等和現象,河圖卻只有平方等和現象。這表明,從數字排列的角度來看,洛書的結構具有更豐富的特點。本篇,我們對照一下洛書與河圖,給出一種中介形式的「縱橫圖」,使之溝通洛書與河圖。

從數字排列形式來看,洛書是三行三列,河圖是一縱一橫。

四九二
三五七
八一六

□□□七□□□
□□□二□□□
八三五四九
□□□一□□□
□□□六□□□

現在考慮洛書的變化,請觀察洛書中「四九五一六」和「二七五三八」這兩條線。在萬字符那篇短文中,我們計算過這兩條線。仍然以五為中心,但是將這兩條線拉直,得到縱橫各一線的圖式。結果是,縱線為「四九五一六」,橫線為「八三五七二」。考慮到河圖的參照形式,應該讓小數在內,大數在外。接着調整一下,縱線變為「九四五一六」,橫線變為「八三五二七」。這個新的圖式,我們稱作「縱橫圖」。

從複雜度來看,這個「縱橫圖」似乎非常簡單,比洛書看上去簡單,但是又比河圖更接近人的常規思維。我想這大概是六、七歲小孩的一道算術題目吧。

圖片:洛書變化縱橫圖

我們已經在洛書與河圖中揭示了各自的一種有趣的循環路線。下面,我們以五為中心,選取三位數為例,將結果羅列出來。

洛書
第一組數:五九二,五七六,五一八,五三四。
第二組數:五九四,五三八,五一六,五七二。
592+576+518+534=2220
594+538+516+572=2220
592^2+576^2+518^2+534^2=1235720
594^2+538^2+516^2+572^2=1235720
592^3+576^3+518^3+534^3=689842800
594^3+538^3+516^3+572^3=689842800

河圖
第一組數:五二九,五四六,五一八,五三七。
第二組數:五四七,五二八,五三六,五一九。
529+546+518+537=2130
547+528+536+519=2130
529^2+546^2+518^2+537^2=1134650
547^2+528^2+536^2+519^2=1134650
529^3+546^3+518^3+537^3=604653210
547^3+528^3+536^3+519^3=604654290
請注意,這裡立方和不等。

縱橫圖
第一組數:五四七,五二六,五一八,五三九。
第二組數:五二九,五四八,五三六,五一七。
547+526+518+539=2130
529+548+536+517=2130
547^2+526^2+518^2+539^2=1134730
529^2+548^2+536^2+517^2=1134730
547^3+526^3+518^3+539^3=604781550
529^3+548^3+536^3+517^3=604781550

將上面的計算結果對照一下,我們看見「縱橫圖」在排列形式上接近河圖,在數字算術上接近洛書,作為洛書與河圖的中介形式是可取的。

由於縱橫圖在排列形式上與河圖接近,我們可以將河圖的那套旋轉機制安裝在縱橫圖上了。具體的連線,這裡就不寫了。看文的朋友,如果有興趣,可以自己去看有關河圖的那篇漫談。

縱橫圖內外大循環
正向取數:九二一三四七六八,七一三四二六八九,六三四二一八九七,八四二一三九七六。
反向取數:九三一二四八六七,八一二四三六七九,六二四三一七九八,七四三一二九八六。
92134768+71342689+63421897+84213976=311113330
93124867+81243679+62431798+74312986=311113330
92134768^2+71342689^2+63421897^2+84213976^2=24692925520971730
93124867^2+81243679^2+62431798^2+74312986^2=24692925520971730
92134768^3+71342689^3+63421897^3+84213976^3=1997582820027709946741050
93124867^3+81243679^3+62431798^3+74312986^3=1997582820027709946741050

計算的結果非常好,正是我們預期的形式,出現了數字等和,平方等和,以及立方等和。

這個縱橫圖內外大循環,已經包含了內外雙圓上的全部八個數字。其餘的一切加法等和現象,都可以看作是這個結果的變化形式,在規模上是無窮無盡。更多的算式,我們就不再寫出來了。看文的朋友,如果有興趣,可以對照河圖那篇,自己作一些算術練習。

從算術的角度看,河圖洛書,他們是非常簡單的構圖。縱橫圖作為一種中介形式,溝通河圖與洛書,應該是可以成立的。不過,這裡仍然只是揭示數字現象,還沒有講出這些現象在算術上的原理。這個問題,我想看文的朋友,如果有興趣,一定會自己去探尋的。如果詳細的寫,那這漫談就變成了數學公式的證明。我想結果一定會被我的朋友繼續說成是枯燥的文。

對我來說,指出河圖洛書中存在着有趣的數字現象,就已經完成了這個算術漫談。至於洛書河圖有甚麼妙用,他們能不能導出一些新的啟示,完全超越了漫談的範圍。數,在古人眼中,可以經緯三才,控布四時。我知道洛書河圖,即使按照今天人純粹的數字觀念,也可以在天災信息預測上有所作為。