算術漫談:先天八卦與轉盤結構

九數

【正見網2009年04月08日】

前面的短文中,我們談到過八卦的立體模型,只用一個立方體就可以了。現在回頭考慮平面結構,也就是古人所說的先天八卦圖。我們將看到,先天八卦實際上是一種轉盤結構,非常有趣的是,竟然與黃金數列有緊密連繫。

第一節――伏羲畫卦

遠古,伏羲畫卦。在如今的文字記載中,只留下了點滴神話。在傳說中,人們知道的越來越少了。

(一)太極生兩儀
太極→陽□;
太極→陰■。

(二)兩儀生四象
太極→陽□→陽陽□□,老陽;
太極→陽□→陽陰□■,少陰;
太極→陰■→陰陽■□,少陽;
太極→陰■→陰陰■■,老陰。

(三)四象生八卦
太極→陽□→陽陽□□→陽陽陽□□□,乾;
太極→陽□→陽陽□□→陽陽陰□□■,兌;
太極→陽□→陽陰□■→陽陰陽□■□,離;
太極→陽□→陽陰□■→陽陰陰□■■,震;
太極→陰■→陰陽■□→陰陽陽■□□,巽;
太極→陰■→陰陽■□→陰陽陰■□■,坎;
太極→陰■→陰陰■■→陰陰陽■■□,艮;
太極→陰■→陰陰■■→陰陰陰■■■,坤。

(四)先天八卦圖
兌,乾,巽
離,◎,坎
震,坤,艮

(五)八卦次序圖
天:□■□■□■□■
人:□□■■□□■■
地:□□□□■■■■
卦:乾兌離震巽坎艮坤
序:一二三四五六七八
象:天澤火雷風水山地

第二節――轉盤結構

從前萊布尼茲將陽爻看作1,陰爻看作0,這樣八卦就轉換成了數字。卦爻之陰陽自下而上排列,轉換成自左至右的0-1數字。
乾,陽陽陽,111;兌,陽陽陰,110;離,陽陰陽,101;震,陽陰陰,100;
巽,陰陽陽,011;坎,陰陽陰,010;艮,陰陰陽,001;坤,陰陰陰,000。

兌=110,乾=111,巽=011
離=101,太極圖,坎=010
震=100,坤=000,艮=001

我們數一數每個卦的陰陽爻數目:
乾□□□,111,三陽爻,零陰爻;兌□□■,110,二陽爻,一陰爻;
離□■□,101,二陽爻,一陰爻;震□■■,100,一陽爻,二陰爻;
巽■□□,011,二陽爻,一陰爻;坎■□■,010,一陽爻,二陰爻;
艮■■□,001,一陽爻,二陰爻;坤■■■,000,零陽爻,三陰爻。

在前面的短文中,我們談到了斐波那契數列,這是一個非常有趣非常神奇的數列。0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…… 計算公式為:f[n]+f[n+1]=f[n+2],f[1]=0,f[2]=1。(這裡n是自然數。)

這個數列中,相鄰二項,前項與後項的比值f[n]∶f[n+1],會越來越接近黃金比,也由此得名黃金數列。

(一)黃金數列
我們考慮黃金數列的一般形式:g[n]+g[n+1]=g[n+2],g[1]=a,g[2]=b。
[1]寫出數列的各項,依次排列為:
g[1]=a,g[2]=b,g[3]=a+b,g[4]=a+2b,g[5]=2a+3b,g[6]=3a+5b,g[7]=5a+8b,g[8]=8a+13b,g[9]=13a+21b,……
[2]選取前面的八項,改寫成如下形式:
1a+0b,0a+1b,1a+1b,1a+2b,2a+3b,3a+5b,5a+8b,8a+13b。
[3]接著從第六項開始,將字母係數超過3的改寫為除以3的餘數:
1a+0b,0a+1b,1a+1b,1a+2b,2a+3b,3a+2b,2a+2b,2a+1b。
[4]我們得出如下結論:
字母a的係數,依次為1-0-1-1-2-3-2-2;
字母b的係數,依次為0-1-1-2-3-2-2-1。
[5]接著考慮數字與卦序的對映,結論如下。
將字母a的係數理解為陽爻數目:
陽爻數目:一,零,一,一,二,三,二,二;
八卦順序:震,坤,艮,坎,巽,乾,兌,離。
字母b的係數理解為陰爻數目:
陰爻數目:零,一,一,二,三,二,二,一;
八卦順序:乾,兌,離,震,坤,艮,坎,巽。

我們採用二元數對(x,y)來記錄每卦之陰陽爻數目。其中x表示陽爻數目,y表示陰爻數目。
兌(2,1),乾(3,0),巽(2,1)
離(2,1),(陽 ,陰),坎(1,2)
震(1,2),坤(0,3),艮(1,2)

我們採用序列的記號,定義x[1],x[2],……,x[8]如下:
乾(3,0)=x[1];兌(2,1)=x[2];離(2,1)=x[3];震(1,2)=x[4];
坤(0,3)=x[5];艮(1,2)=x[6];坎(1,2)=x[7];巽(2,1)=x[8]。

兌x[2],乾x[1],巽x[8]
離x[3],太極圖,坎x[7]
震x[4],坤x[5],艮x[6]

注意到在圓圖排列中可以繞圈子,我們繼續定義x[9]=x[1],x[10]=x[2],一般來說有x[n+8]=x[n]。這實際上蘊涵著八周期律。

(二)同餘方程

同餘現象,古代中國人很早就認識了。在棄九驗算法中,所謂棄九,實際就是求取除以九後的餘數。比如,世界法輪大法日是5月13日,我們考慮513這個數,其數字和是5+1+3,可以寫成513≡5+1+3(模9)。

本文中,我們只考慮一個數除以三的餘數,所得餘數通常為零一二。如果a和b除以3的餘數相同,那麼就說a和b模3同餘,記作a≡b(模3)。比如3≡0(模3);又如17=3*5+2,38=3*12+2,記作17≡38(模3)。

仔細觀察先天八卦的圓圖排列,我們發現有如下一些有趣的規律。
[1]相鄰二卦x[n]→x[n+1]
同餘方程x[n]+x[n+1]≡x[n+2](模3)
乾兌→離x[1]+x[2]≡x[3](模3):(3,0)+(2,1)≡(2,1)(模3);
兌離→震x[2]+x[3]≡x[4](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3);
離震→坤x[3]+x[4]≡x[5](模3):(2,1)+(1,2)≡(0,3)(模3);
震坤→艮x[4]+x[5]≡x[6](模3):(1,2)+(0,3)≡(1,2)(模3);
坤艮→坎x[5]+x[6]≡x[7](模3):(0,3)+(1,2)≡(1,2)(模3);
艮坎→巽x[6]+x[7]≡x[8](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
坎巽→乾x[7]+x[8]≡x[1](模3):(1,2)+(2,1)≡(3,0)(模3);
巽乾→兌x[8]+x[1]≡x[2](模3):(2,1)+(3,0)≡(2,1)(模3)。
我們看見,黃金數列模三的結果,就是出現八周期。這組算式,是八周期律的直接反映。

[2]間隔一卦x[n]→x[n+2]
同餘方程x[n]+x[n+2] ≡x[n+7](模3)
乾離→巽x[1]+x[3] ≡x[8](模3):(3,0)+(2,1)≡(2,1)(模3);
離坤→兌x[3]+x[5] ≡x[2](模3):(2,1)+(0,3)≡(2,1)(模3);
坤坎→震x[5]+x[7] ≡x[4](模3):(0,3)+(1,2)≡(1,2)(模3);
坎乾→艮x[7]+x[1] ≡x[6](模3):(1,2)+(3,0)≡(1,2)(模3);
兌震→乾x[2]+x[4] ≡x[1](模3):(2,1)+(1,2)≡(3,0)(模3);
震艮→離x[4]+x[6] ≡x[3](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
艮巽→坤x[6]+x[8] ≡x[5](模3):(1,2)+(2,1)≡(0,3)(模3);
巽兌→坎x[8]+x[2] ≡x[7](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3)。
實際在圓周上行走的時候,感覺就像是:向前走二步,然後退三步。原因很簡單,x[n+7]=x[n-1]。

[3]間隔二卦x[n]→x[n+3]
同餘方程x[n]+x[n+3] ≡x[n+6](模3)
乾震→坎x[1]+x[4] ≡x[7](模3):(3,0)+(1,2)≡(1,2)(模3);
兌坤→巽x[2]+x[5] ≡x[8](模3):(2,1)+(0,3)≡(2,1)(模3);
離艮→乾x[3]+x[6] ≡x[1](模3):(2,1)+(1,2)≡(3,0)(模3);
震坎→兌x[4]+x[7] ≡x[2](模3):(1,2)+(1,2)≡(2,1)(模3);
坤巽→離x[5]+x[8] ≡x[3](模3):(0,3)+(2,1)≡(2,1)(模3);
艮乾→震x[6]+x[1] ≡x[4](模3):(1,2)+(3,0)≡(1,2)(模3);
坎兌→坤x[7]+x[2] ≡x[5](模3):(1,2)+(2,1)≡(0,3)(模3);
巽離→艮x[8]+x[3] ≡x[6](模3):(2,1)+(2,1)≡(1,2)(模3)。
如果將八卦排列在三行三列的九宮格裡,中間一格不用,那麼我們可以看見,這組算式描述的恰好是按照象棋中馬步行走的路線。看來這跳馬的步法也挺有趣的呢!

[4]相對二卦x[n]→x[n+4]
同餘方程x[n]+x[n+4] ≡0(模3)
乾坤x[1]+x[5] ≡0(模3):(3,0)+(0,3)=(3,3);
兌艮x[2]+x[6] ≡0(模3):(2,1)+(1,2)=(3,3);
離坎x[3]+x[7] ≡0(模3):(2,1)+(1,2)=(3,3);
震巽x[4]+x[8] ≡0(模3):(1,2)+(2,1)=(3,3)。
古人對此的解釋是:天地定位,山澤通氣,雷風相薄,水火不相射,八卦相錯。(《說卦》)從算術上看,這實際是一組互補關係,互補的二卦恰好在相對位置。

第三節――邵雍觀物

當年,邵雍對先天八卦和後天八卦的排列程序有著非常簡明的觀點。下面我們引用《觀物外篇》中的二句話,然後作點引申。
【原文】乾坤縱而六子橫,易之本也;震兌橫而六卦縱,易之用也。
【原文】四正者,乾坤坎離也。觀其象無反覆之變,所以為正也。

按照邵雍的說法,我們給出二個基本操作:
[1]反序操作:abc←→cba。例如:100←→001。
[2]互補操作:abc←→a』b』c』。這裡a』為a的補數,總有 a+a』=1。b』和c』同理。例如:100←→011。

(一)一縱三橫
先天八卦
兌乾巽
離◎坎
震坤艮
按照反序操作abc←→cba:
乾111←→111;坤000←→000; 離101←→101;坎010←→010。
乾坤坎離,此四卦反序操作後仍然為自身。
縱:乾111,坤000,互補排列。橫:離101,坎010,互補排列。
橫:兌110,巽011,反序排列。橫:震100,艮001,反序排列。

(二)一橫三縱
在二個基本操作的基礎上,我們定義合成操作。
[3]反序互補:abc←→c』b』a』。
線路一:從abc開始,先反序操作,得出cba;又互補操作,得出c』b』a』。
線路二:從abc開始,先互補操作,得出a』b』c』;又反序操作,得出c』b』a』。
看一個例子,011,先反序操作得出110,又互補操作得出001。

先天八卦
兌乾巽
離◎坎
震坤艮
橫:離101,坎010,反序互補。縱:兌110,震100,反序互補。
縱:乾111,坤000,反序互補。縱:巽011,艮001,反序互補。

後天八卦
巽離坤
震◎兌
艮坎乾
橫:震100,兌110,反序互補。 縱:巽011,艮001,反序互補。
縱:離101,坎010,反序互補。 縱:坤000,乾111,反序互補。

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