算術漫談:洛書.d字與黃金數列

九數

【正見網2009年02月26日】

從前古代的時候,大約相當於中國這裡的南宋,有一位義大利人叫斐波那契,他寫了一本著名的算術書,書裡面記載了一個兔子繁殖的問題。由這個問題衍生出了一個有趣的數列――斐波那契數列,如今這個數列從西方到東方已是廣為人知。他寫下的數列異乎尋常的簡單:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,……

你看,只是在作加法呢!1+1=2,1+2=3,2+3=5,3+5=8。繼續下去,5+8=13,8+13=21。總之,只要你願意算,可以永無休止的算下去。這是一個既簡單又奧妙的數列。

我們在前面的短文裡,已經談過這個數列隱含著甲子循環的模式。這裡,我們繼續作點新的思考,將數列的出發點換成任意的數字。
令F[1]=a, F[2]=b,F[n]=F[n-1]+F[n-2],這裡n為從3開始的自然數。
一般來說,有F[n]=xa+yb,這裡的係數x,y可以計算出來且只與n有關。接著,我們將x,y換成各自除以10的餘數,所得記作f[n]。
則有f[1]=a, f[2]=b,f[n]≡f[n-1]+f[n-2](mod10)。

(一) 計算結果
計算是枯燥的,我們直接記錄結果。為了看的整齊,我們排列成五列十多行的形式。總計收錄了六十二個數據。
f[01]=1a+0b,f[02]=0a+1b,f[03]=1a+1b,f[04]=1a+2b,f[05]=2a+3b,
f[06]=3a+5b,f[07]=5a+8b,f[08]=8a+3b,f[09]=3a+1b,f[10]=1a+4b,
f[11]=4a+5b,f[12]=5a+9b,f[13]=9a+4b,f[14]=4a+3b,f[15]=3a+7b,
f[16]=7a+0b,f[17]=0a+7b,f[18]=7a+7b,f[19]=7a+4b,f[20]=4a+1b,
f[21]=1a+5b,f[22]=5a+6b,f[23]=6a+1b,f[24]=1a+7b,f[25]=7a+8b,
f[26]=8a+5b,f[27]=5a+3b,f[28]=3a+8b,f[29]=8a+1b,f[30]=1a+9b,
f[31]=9a+0b,f[32]=0a+9b,f[33]=9a+9b,f[34]=9a+8b,f[35]=8a+7b,
f[36]=7a+5b,f[37]=5a+2b,f[38]=2a+7b,f[39]=7a+9b,f[40]=9a+6b,
f[41]=6a+5b,f[42]=5a+1b,f[43]=1a+6b,f[44]=6a+7b,f[45]=7a+3b,
f[46]=3a+0b,f[47]=0a+3b,f[48]=3a+3b,f[49]=3a+6b,f[50]=6a+9b,
f[51]=9a+5b,f[52]=5a+4b,f[53]=4a+9b,f[54]=9a+3b,f[55]=3a+2b,
f[56]=2a+5b,f[57]=5a+7b,f[58]=7a+2b,f[59]=2a+9b,f[60]=9a+1b,
f[61]=1a+0b,f[62]=0a+1b,……

(二) 六十周期
仔細觀察前面的計算結果,我們發現和從前一樣,依然不變的是甲子循環模式。為了看的整齊,我們取前面的六十個數據,從新排列成四列十五行的形式。後面將看到,這樣排列是有特殊意義的。
f[01]=1a+0b,f[16]=7a+0b,f[31]=9a+0b,f[46]=3a+0b,
f[02]=0a+1b,f[17]=0a+7b,f[32]=0a+9b,f[47]=0a+3b,
f[03]=1a+1b,f[18]=7a+7b,f[33]=9a+9b,f[48]=3a+3b,
f[04]=1a+2b,f[19]=7a+4b,f[34]=9a+8b,f[49]=3a+6b,
f[05]=2a+3b,f[20]=4a+1b,f[35]=8a+7b,f[50]=6a+9b,
f[06]=3a+5b,f[21]=1a+5b,f[36]=7a+5b,f[51]=9a+5b,
f[07]=5a+8b,f[22]=5a+6b,f[37]=5a+2b,f[52]=5a+4b,
f[08]=8a+3b,f[23]=6a+1b,f[38]=2a+7b,f[53]=4a+9b,
f[09]=3a+1b,f[24]=1a+7b,f[39]=7a+9b,f[54]=9a+3b,
f[10]=1a+4b,f[25]=7a+8b,f[40]=9a+6b,f[55]=3a+2b,
f[11]=4a+5b,f[26]=8a+5b,f[41]=6a+5b,f[56]=2a+5b,
f[12]=5a+9b,f[27]=5a+3b,f[42]=5a+1b,f[57]=5a+7b,
f[13]=9a+4b,f[28]=3a+8b,f[43]=1a+6b,f[58]=7a+2b,
f[14]=4a+3b,f[29]=8a+1b,f[44]=6a+7b,f[59]=2a+9b,
f[15]=3a+7b,f[30]=1a+9b,f[45]=7a+3b,f[60]=9a+1b。

(三)洛書模式
四九二
三五七
八一六

我們注意到,上面的數表中,有非常整齊的一組數據:
f[03]=1a+1b,f[18]=7a+7b,f[33]=9a+9b,f[48]=3a+3b。
這裡的係數十分有規律,「一→七→九→三」正好是洛書中的數字旋轉順序。經由仔細演算,我們發現這個規律是普遍存在的,可以寫成一組同餘方程式。
f[n+15] ≡ 7f[n] (mod10);
f[n+30] ≡ 9f[n] (mod10);
f[n+45] ≡ 3f[n] (mod10);
f[n+60] ≡ 1f[n] (mod10)。


圖片:洛書.d字

(1)數字排列沿.d字螺旋向內
f[08]=8a+3b,
f[23]=6a+1b,
f[38]=2a+7b,
f[53]=4a+9b;
(2)數字排列沿.d字螺旋向外
f[13]=9a+4b,
f[28]=3a+8b,
f[43]=1a+6b,
f[58]=7a+2b。

這裡排列的兩組數據,是從前面的六十周期中仔細選擇出來的。需要注意的一點是:08→23→38→53,13→28→43→58,這兩個序列都是依次增加15。

令人感到非常奇妙的是,這裡出現的係數正好遵循洛書的數字排列。看了這個計算結果,我們很自然的想起了古代中國人的話:一六共宗,二七同道,三八為朋,四九為友。

斐波那契數列是非常奇特的一個數列,西方人從中認識到了重要常數――黃金比0.618…,這個數列也因此得名黃金數列。我們從東方古老數術文化的角度,發現這個數列竟然也與八卦與甲子與五行與洛書有關。這樣看的話,這個數列的更深意義更豐富內容,還有待未來時代繼續發現。

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