算術漫談:八卦的簡單立體模型

九數

【正見網2008年11月10日】

前面寫了些解洛書的短文,幾乎都是純粹的算式推演,而且涉及的數目很大。菊花小妹對我說,這算術漫談後面有點難了。我想大概有兩個原因吧,一個是數的計算,結果的真實並非一目了然,尤其大數目讓人感到枯燥,雖然如此,古代教育中「六藝」也包括「九數」呢;另一個是不太熟悉這些傳統的術語吧,可是在古代社會,八卦是儒生的基礎知識。有興趣的朋友,可以搜尋正見網文章《淺說八卦》,可以獲得簡明純正的基礎知識。

說起先天八卦,有一段話人們非常熟悉的。這就是:太極生兩儀,兩儀生四象,四象生八卦。這個演化過程,從數來看,由一變為二,由二變為四,由四變為八。只看這個倍數規律,有一個非常類似的圖形演變過程:從點到線段,從線段到正方形,從正方形到立方體。

點,那就是一個點;線段,有二個端點;正方形,有四個頂點;立方體,有八個頂點。從點的數目來看,也是一,二,四,八的順序。由此,我們可以用立方體建立一個先天八卦的模型。這個模型和普通的平面圖式相比,有自己的獨到之處。

依照先天八卦,卦名與陰陽卦爻的對映關係如下:

陽陽陽,此為乾卦;陽陽陰,此為兌卦;陽陰陽,此為離卦;陽陰陰,此為震卦;
陰陽陽,此為巽卦;陰陽陰,此為坎卦;陰陰陽,此為艮卦;陰陰陰,此為坤卦。

接著,將卦轉換為數,採用二進制的辦法。陽爻換為1,陰爻換為0,這樣八卦正好表達了二進制中的全部三位數。前面的短文裡,我們說過,這個轉換是幾百年前德國人萊布尼茲的創見。八卦與二進制數的對映關係如下:

乾卦,表示111;兌卦,表示110;離卦,表示101;震卦,表示100;
巽卦,表示011;坎卦,表示010;艮卦,表示001;坤卦,表示000。

接著,將這些數映射到立體的直角坐標系中。比如,100對映(1,0,0)。這裡,坐標系採用右手系。八卦與直角坐標系中坐標的對映關係如下:
乾卦,表示(1,1,1);兌卦,表示(1,1,0);
離卦,表示(1,0,1);震卦,表示(1,0,0);
巽卦,表示(0,1,1);坎卦,表示(0,1,0);
艮卦,表示(0,0,1);坤卦,表示(0,0,0)。

有了這些坐標,我們可以畫出這個立方體了。有興趣的朋友,請自己畫一個吧。直觀上看,立方體的上底面,按照反時針方向排列艮卦,離卦,乾卦,巽卦;下底面,按照反時針方向排列坤卦,震卦,兌卦,坎卦。
艮巽
離乾[註:此為上底面的四個頂點]
坤坎
震兌[註:此為下底面的四個頂點]

現在,我們簡單的分析一下這個立體模型的特點。
一、坤卦,陽爻數目為零。
二、艮卦、坎卦、震卦,這三個卦,陽爻數目均為一。
三、兌卦、離卦、巽卦,這三個卦,陽爻數目均為二。
四、乾卦,陽爻數目為三。
很明顯,按照陽爻數目分類,數據呈現「一三三一」的分布。從算術的角度來看,這個分布讓人想起非常有趣的「楊輝三角」。

一,一
一,二,一
一,三,三,一
一,四,六,四,一

楊輝是兩宋時期傑出的算學家,對洛書有非常精深的研究,留下了簡明的口訣:九子斜排,上下對易,左右相更,四維挺出,戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足。順便說一句,這口訣的後四句蘊涵著很有趣的中醫道理呢。楊輝由洛書的研究,導出許多有趣的縱橫圖流傳後世,其中有些圖式的構造程序,現今還無人揭示。楊輝三角,是一個數字排列,每行的數字之和,依次為一,二,四,八,如此繼續。這個序列正好是太極演化的數字序列。

在上篇短文裡,我寫過一點從大法中獲得的啟示,主要寫的是「加法等和」現象。這一篇,繼續談一點個人的粗淺認識。我們記下了大法書《轉法輪》每講中題目的個數。從第一講到第九講,依次排列為:

第一講,包含七個題目。
第二講,包含五個題目。
第三講,包含十個題目。
第四講,包含五個題目。
第五講,包含八個題目。
第六講,包含七個題目。
第七講,包含五個題目。
第八講,包含七個題目。
第九講,包含六個題目。

目錄順序:一二三四五六七八九;
題目個數:七五十五八七五七六。

仔細看這一組數據,我們發現從第一講到第八講,出現的題目個數非常奧妙。

十個的,出現了一次;七個的,出現了三次;
五個的,出現了三次;八個的,出現了一次。
這個「一三三一」的數據分布,引起了我的深深思考,這不正好是「楊輝三角」的數字排列嗎?!就這樣,我獲得了新的啟示:也許在這裡可以看見太極的演化吧。

接著,我想到,將這第一講到第八講的題目個數排列在上面的立方體的頂點上。按照最自然的排列,乾卦的位置排列第三講;坤卦的位置排列第五講;艮卦的位置排列第一講;離卦的位置排列第二講;巽卦的位置排列第四講;震卦的位置排列第六講;兌卦的位置排列第七講;坎卦的位置排列第八講。

直觀上看,立方體的上底面,按照反時針方向排列第一講到第四講的題目個數;下底面,按照反時針方向排列第五講到第八講的題目個數。

一四
二三[註:此為上底面的四個頂點]
五八
六七[註:此為下底面的四個頂點]

現在我們計算下這個立方體排列的數字特點。立方體有八個頂點,十二條棱,六個面。

一、八個頂點

在相對頂點上,排列著第三講和第五講,第三講包含十個題目,第五講包含八個題目。第二、四、七講排列成正三角形,每講五個題目;第一、六、八講排列成正三角形,每講七個題目。

10
5=5=5
7=7=7
8

二、十二條棱

所有十二條棱,可以分為三組。

第一組:三二相連,三四相連,三七相連。兩端點的題目個數之和為十五,包含三條棱。
10+5=10+5=10+5=15
第二組:一二相連,二六相連,六七相連,七八相連,八四相連,四一相連。兩端點題目個數之和為十二,包含六條棱。
7+5=5+7=7+5=5+7=7+5=5+7=12
第三組:五一相連,五六相連,五八相連。兩端點的題目個數之和為十五,包含三條棱。8+7=8+7=8+7=15

三、六個面
上底,出現第一、二、三、四講;下底,出現第五、六、七、八講。上底和下底,各排列二十七個題目。
上底7+5+10+5=27
下底8+7+5+7=27
左側,出現第一、二、五、六講;右側,出現第三、四、七、八講。左側和右側,各排列二十七個題目。
左側7+5+8+7=27
右側10+5+5+7=27
前面,出現第二、三、六、七講;後面,出現第一、四、五、八講。前面和後面,各排列二十七個題目。
前面5+10+7+5=27
後面7+5+8+7=27

現在對這個立方體排列的數字特點,簡單的總結如下:
一,這表示第九講的題目個數並不排列在立方體的頂點。
一一,這是六個面的數據分布特點,相對面是均衡的。
一二一,這是十二條棱的數據分布特點,三六三的約簡形式。
一三三一,這是八個頂點的數據分布特點。

在這篇短文裡,我們簡單的介紹了一個先天八卦的立體模型,同時也寫出了我從大法書《轉法輪》的目錄排列中獲得的一點有趣啟示。對我來說,認識到這樣一種非常均衡非常對稱的結構,實在是妙不可言。小小的立方體,多麼簡單的排列,看似平凡的「一三三一」,平凡的背後卻有著無盡的玄妙,這一切是多麼神奇啊!

如果不採用立體模型,直接看最簡單的平面模型,那也是非常有趣的。如果,你將這個平面圖式看作是一個正八邊形,更容易理解。有興趣的朋友,自己可以計算一下。

二一五
三九六
四八七

河圖洛書八卦,這些古老的文化,在浩瀚的宇宙智慧中,只是微不足道的小小一粒子,能夠在證實大法中獲得新生,這才是他們未來的無限生機。

本文只是個人的一點淺見,僅供參考。

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