也談「龜兔賽跑悖論」

看了正見網上的兩篇文章「一個不尋常的悖論」(6月4日)和「剖析『龜兔賽跑悖論』」(8月24日) 之後，也想來說一說自己個人的看法，不妥之處，敬請同修們指正。

我們首先用儘可能簡單明確的邏輯分析，從不同角度直接了當地指出芝諾悖論的錯誤所在，然後再回過頭來討論這個悖論產生的背景和它在數學、哲學方面可能的價值和影響。為了讓儘可能多的讀者都能清楚地理解，我們採用「特殊化、具體化」的分析證明方法。但有興趣的讀者可以驗證，下面採用的「特殊」和「具體」的時間、距離和速度，都可以換為任何「一般」或者「抽象」的數字變量，龜兔之間的距離也可用其他定義，這些都不影響整個分析和證明過程的正確性。

假定時間以秒為單位，烏龜每秒爬一步，其步長為十分之一米；兔子每秒跳一步，其步長為一米，亦即兔子的速度為烏龜的十倍。又假定賽跑開始時，兔子讓烏龜領先十米，即烏龜在兔子前面十米的地方與兔子同時起跑。龜兔之間的距離以它們頭部最前端的一點為準。

根據常識，兔子很快就會趕上並超過烏龜。要知道兔子趕上烏龜的具體時間，一個一元一次方程就夠了，實際上就是作一個除法(10 + 0.1t = t, 11＜t ＜12)。因此到賽跑開始後12秒，兔子已經把烏龜拋到身後(0.8米)了。

但芝諾說，兔子追不上烏龜，理由是：兔子跑完十米要用十秒鐘，在這十秒鐘內，烏龜又爬了一米；兔子跑完這一米要用一秒，烏龜在這一秒內又爬了十分之一米；兔子跑完這十分之一米要用十分之一秒，烏龜在這十分之一秒內又爬了百分之一米；…… 如此下去，雖然兔子離烏龜越來越近，但卻永遠不會趕上烏龜。

讀到這裡，細心的讀者可能會看到問題所在了：當龜兔之間的距離不大於一米 (即兔子步長) 時，芝諾便強迫兔子改變它的跑法，不是每秒跳一次，每次跳一米，而是每十分之一秒跳一次，每次跳十分之一米；當龜兔之間的距離不大於十分之一米時，芝諾又強迫兔子改變它的跑法：每百分之一秒跳一次，每次跳百分之一米；…… 不但如此，自從龜兔之間的距離不大於十分之一米(即烏龜步長)以後，烏龜也被芝諾逼著不斷地改變自己的爬法：頻率越來越高，步長越來越小。隨著龜兔之間的距離越來越短，芝諾便把這兩個活生生的動物變成了兩個高頻振動的質點，而且頻率還永遠不停地增加！先且不說芝諾把兩個動物變為兩個質點後所作的數學推理是否正確(參見後面的分析)，這個推理的結論無論如何也不能拿回來套到那兩個可憐的動物頭上去，因為芝諾在他的邏輯推理中已經改變了關於烏龜和兔子運動方式的前提。

作為笑話，我們來考慮龜兔之間距離小於一毫米 (即千分之一米) 時的情形。這樣的距離，兔子每次只能跳萬分之一米，但必須每秒鐘跳一萬次；烏龜每次只能爬十萬分之一米，也必須每秒鐘爬一萬次。為了滿足芝諾給它們規定的運動方式，它們只有讓自己身上的每一塊肌肉作最輕微最快速的顫抖，就像感冒發燒或「打擺子」時一樣。只要一不小心，就可能讓芝諾「永遠跑下去」的希望落空。比如說，只要烏龜一縮頭，或者兔子一伸頸，比賽立分勝負，芝諾的計劃便破產了。因此，縮頭和伸頸雖然是烏龜和兔子平時的習慣動作，但這時也不准做。可見芝諾這個方法不但如上面分析的不合「理」，而且還非常地不合「情」，簡直就是對龜兔施加酷刑。當時如果有「保護動物運動」，芝諾一定難逃指責和控訴。

芝諾的邏輯錯誤，為甚麼古往今來會有許多人想不明白呢？其實，筆者認為，這個悖論的真正價值之一，就在於它暴露了人們邏輯思維中的許多弱點、缺點和易犯的錯誤，比如：思維的慣性，思維的表面化、概念化和模式化，假定與推理不相容，推理與結論不相容，等等，都在這個悖論中反映出來。

下面我們作一個簡要的討論。思維的慣性：在前面的十一秒中，芝諾保持了正確的前提。只是在眼看兔子再一跳(第十二跳)就要結束比賽時，芝諾才改變了推理的前提。由於同一推理過程中攙雜了正確與錯誤的兩種前提，人的思維慣性便因為前一段正確的前提而忽略了後面一段改變了的錯誤前提；表面化、概念化和模式化：在考慮時間--速度--距離這一類問題時，人們已經習慣性地、概念化地，甚至條件反射式地用現成的方法去解答這一類問題，總是死死抓住速度、時間和距離去硬套公式。但芝諾從來沒有改變烏龜和兔子的速度。他在改變它們的運動頻率的同時，也改變它們的步伐長度，以此來保證它們的速度不變。因此人們不容易注意到他改變前提的錯誤；前提與推理不相容：芝諾的推理過程，當龜兔之間的距離小於或等於十分之一米時，便與前提相悖了。因此，如果承認他的推理，則實際上改變了前提；如果非要保持前提不變，則只好糾正他的推理。在我們的分析中，為明顯起見，我們讓他保持自己的推理，而指出他改變了前提。如上所說，芝諾是從第十一秒後才開始改變前提的，因此這種不相容也是從第十一秒後才開始的，因此也就特別地具有不易察覺的特點；推理與結論不相容：這個錯誤是芝諾悖論的最本質但又最難識破的錯誤。我們在分析中挑出了「改變前提」這一個最明顯的錯誤。當時可能就有聰明的讀者在想：「如果把龜兔換成自行車和汽車呢？」不錯，那樣便不存在「改變前提」這一錯誤了。但推理與結論不相容的錯誤卻始終改變不了。我們不妨用自行車和汽車(甚至兩個抽象的質點)來重複一次芝諾的推理過程：汽車跑完十米用十秒，這十秒鐘內自行車又跑了一米；汽車跑這一米又用一秒，這一秒內自行車又跑十分之一米；汽車又用百分之一秒跑這十分之一米，自行車又跑了百分之一米……如此下去，汽車和自行車越來越近，但永遠也追不上自行車。在這裡，芝諾的推理過程是：在第十一秒之後，每十分之一秒，每百分之一秒，每千分之一秒……的時候，汽車與自行車的距離越來越短，但是自行車始終在汽車前面，這沒有錯。但芝諾從此以後始終沒有跨出第十二秒這個時間段去。他只是把第十二秒這關鍵的一秒鐘反覆細分，指出在每一個細分點兩車的距離和他最關心的事實：自行車在汽車前面。但他迴避了一個問題：第十二秒後自行車和汽車誰在前面？而且他把他的結論的時間換成了「永遠」，不但包括第十二秒，第十三秒，還包括任何一個更後面的時間！其實，芝諾的推理和他的結論可以說沒有邏輯上的因果關係：他告訴我們，在第十二秒內的某些個時候，自行車總在汽車前面；等我們一點頭，他馬上說，第十二秒以後，甚至那以後的任何時候，自行車都在汽車前面！他的推理過程的關鍵部份是在第十二秒這一秒鐘之內的某些分點上得到的，但他的結論卻把時間外延到任何一個時候。這裡，他不但利用了思維的慣性，而且利用了多數人思維的黏滯、含混和條理不清等弱點。

芝諾這些論據(其中有些後來成為有名的「悖論」)對於後世數學的影響似乎並無定論。但在二千四百多年前，芝諾在阿基裡(即龜兔賽跑)悖論裡把「逐次逼近法」這個一千多年後才廣泛應用的數學工具的基本思想表述到如此清楚的程度，實在令人驚嘆。不過因其在應用時缺乏嚴格的概念定義和明晰的語義，因此結果並不令人滿意。人們對他獨特、超群的思辯方法感到興奮、驚奇，甚至振驚。芝諾對後世哲學的影響比較確定。亞裡士多德把他尊為「辯證法的發明者」。他的許多悖論向人們顯示了，司空見慣的東西也可能包含十分荒謬的成份，因此對已被確信或者貌似有理的結論都值得重新檢驗。

由於芝諾當時的目的是反對「科學」的一派(畢達哥拉斯被後世認為是科學萌芽時期的先驅)，他所用的方法也沒有直接影響到後世科學的發展，因此把他的邏輯錯誤當作科學思維的缺陷似乎就不很恰當。即便是在分析、解剖和批判現代科學的局限性時，特別是邏輯思維的局限性時，我們也要儘可能分清邏輯方法本身的缺陷和使用邏輯方法的人自己的錯誤。

作為法輪大法修煉者，我們知道，真正探索宇宙高層的真理，那是修煉人通過不斷提高心性後直接了當的觀察所得到的，不是憑邏輯推理所能得到的。也就是說，邏輯的方法本身是有很大局限性的。但即便如此，不但是一般人，多數科學家實際上終生都一直在邏輯思維的泥潭中掙扎。許多科學假設，包括那些當今很有名的，在邏輯上都不是完美無缺的。