算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續五)

九數


【正見網2015年10月21日】

在“續三”中,我們說過,將要給出一些黃金方陣的古典實例。在“續四”中,我們給出了一條金色之線,貫穿著不同時期的一些方陣。非常有趣的是,所有這些存世的“著名”方陣,全部都可以在我們的“戲法”作用下,變化為黃金方陣。這可真是出人意料。

京房(西元前77年—前37年),西漢學者,本姓李,字君明。京房治易學,師從焦延壽,有京氏易傳存世。據《漢書·京房傳》記載,焦延壽預見到了京房以易干政的危險,曾說:“得我道以亡身者,京生也。”

這篇短文,九數採用西漢易學家京房的觀點,將六十四卦排列為八行八列的方陣。然後,將《周易》卦序作為卦象與數字之間的一個映射。在此基礎上,我們作一點關於黃金分割的計算。計算結果表明,京房八宮是非常優雅的一種卦象坐標系。我們知道,流傳於世的主要術數門類——納甲筮法,即是採用此種學說。

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。上經記錄三十卦,下經記錄三十四卦。

【上經】
乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,
需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,
小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,
同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,
隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,
噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,
無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,
坎卦第二十九,離卦第三十。

【下經】
咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,
晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,
蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,
夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,
困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,
震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,
豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,
渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,
既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)京房八宮
西漢易學家京房,創立了八宮學說。他將六十四卦分為乾,震,坎,艮,坤,巽,離,兌八宮。八宮中,每宮包含八個卦象。

【乾宮】乾卦,姤卦,遯卦,否卦,觀卦,剝卦,晉卦,大有
【震宮】震卦,豫卦,解卦,恆卦,升卦,井卦,大過,隨卦
【坎宮】坎卦,節卦,屯卦,既濟,革卦,豐卦,明夷,師卦
【艮宮】艮卦,賁卦,大畜,損卦,睽卦,履卦,中孚,漸卦
【坤宮】坤卦,復卦,臨卦,泰卦,大壯,夬卦,需卦,比卦
【巽宮】巽卦,小畜,家人,益卦,無妄,噬嗑,頤卦,蠱卦
【離宮】離卦,旅卦,鼎卦,未濟,蒙卦,渙卦,訟卦,同人
【兌宮】兌卦,困卦,萃卦,咸卦,蹇卦,謙卦,小過,歸妹

(三)序數方陣
我們將六十四卦在《周易》卦序中的序數代入京房八宮中,得出一個由序數構成的八行八列方陣。實際上,京房八宮可以視為一種特殊的卦象坐標系。
□□□:第一列, 第二列,第三列, 第四列,第五列, 第六列,第七列, 第八列
第一行:乾卦01,姤卦44,遯卦33,否卦12,觀卦20,剝卦23,晉卦35,大有14
第二行:震卦51,豫卦16,解卦40,恆卦32,升卦46,井卦48,大過28,隨卦17
第三行:坎卦29,節卦60,屯卦03,既濟63,革卦49,豐卦55,明夷36,師卦07
第四行:艮卦52,賁卦22,大畜26,損卦41,睽卦38,履卦10,中孚61,漸卦53
第五行:坤卦02,復卦24,臨卦19,泰卦11,大壯34,夬卦43,需卦05,比卦08
第六行:巽卦57,小畜09,家人37,益卦42,無妄25,噬嗑21,頤卦27,蠱卦18
第七行:離卦30,旅卦56,鼎卦50,未濟64,蒙卦04,渙卦59,訟卦06,同人13
第八行:兌卦58,困卦47,萃卦45,咸卦31,蹇卦39,謙卦15,小過62,歸妹54

(四)縱橫求和
(1)行和計算
第一行,和為01+44+33+12+20+23+35+14=182。
第二行,和為51+16+40+32+46+48+28+17=278。
第三行,和為29+60+03+63+49+55+36+07=302。
第四行,和為52+22+26+41+38+10+61+53=303。
第五行,和為02+24+19+11+34+43+05+08=146。
第六行,和為57+09+37+42+25+21+27+18=236。
第七行,和為30+56+50+64+04+59+06+13=282。
第八行,和為58+47+45+31+39+15+62+54=351。
總和為182+278+302+303+146+236+282+351=2080。

(2)列和計算
第一列,和為01+51+29+52+02+57+30+58=280。
第二列,和為44+16+60+22+24+09+56+47=278。
第三列,和為33+40+03+26+19+37+50+45=253。
第四列,和為12+32+63+41+11+42+64+31=296。
第五列,和為20+46+49+38+34+25+04+39=255。
第六列,和為23+48+55+10+43+21+59+15=274。
第七列,和為35+28+36+61+05+27+06+62=260。
第八列,和為14+17+07+53+08+18+13+54=184。
總和為280+278+253+296+255+274+260+184=2080。

(五)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第一行+第三行+第四行+第五行+第八行=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第一行+第三行+第四行+第五行+第八行=182+302+303+146+351=1284,總和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第二行+第六行+第七行=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第二行+第六行+第七行=278+236+282=796,總和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然後開平方,解出Ω=0.6186……

③第一行+第三行+第五行+第八行=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:第一行+第三行+第五行+第八行=182+302+146+351=981,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=981÷2÷2080=0.2358……
然後開立方,解出Ω=0.6178……

④第四行=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:第四行=303,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=303÷2080=0.1456……
然後開四次方,解出Ω=0.6177……

(2)列的結構
①第二列+第三列+第四列+第六列+第八列=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第二列+第三列+第四列+第六列+第八列=278+253+296+274+184=1285,總和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……

②第一列+第五列+第七列=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第一列+第五列+第七列=280+255+260=795,總和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然後開平方,解出Ω=0.6182……
我們注意到,行的結構與列的結構相比,要複雜一些。

總體而言,行與列,包含有如下兩種不同的模式。
總和
=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×2+總和×Ω×Ω×Ω×Ω
依照“續三”中的術語,這是一個奇異黃金方陣。

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