算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續四)

九數


【正見網2015年10月18日】

在前面的三則續篇中,九數毫無保留的公布了隱秘三千年的“戲法”。這個戲法是一種“點金術”,能夠將一個看似普通的方陣,變化為具有嚴密數學秩序的黃金方陣。

九數以為,三千年的易學史,開端於《周易》卦序,終結於遺傳密碼錶。

《周易(序卦)》→《周易(雜卦)》→帛書《周易》→魏伯陽《周易參同契》→京房《易傳》→邵雍先天圖→楊輝縱橫圖→萊布尼茲0-1數→元素周期表→遺傳密碼錶

我們的計算表明,這是一條充滿黃金比率Ω=0.6180339……的金色之線。

這篇短文,九數採用帛書《周易》中八宮布卦的觀點,將六十四卦排列為八行八列的方陣。然後,將《周易》卦序作為卦象與數字之間的一個映射。在此基礎上,我們作一點關於黃金分割的計算。

(一)《周易》卦序

我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。上經記錄三十卦,下經記錄三十四卦。

【上經】

乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,
需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,
小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,
同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,
隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,
噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,
無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,
坎卦第二十九,離卦第三十。

【下經】

咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,
晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,
蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,
夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,
困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,
震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,
豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,
渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,
既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)帛書八宮

一九七三年,湖南長沙馬王堆漢墓出土了帛書《周易》。據學界研究,抄寫於漢文帝時期。書中記錄了六十四卦的帛書八宮排列。大體而言,帛書《周易》將六十四卦按照某種簡明的卦象規則分為八宮,每宮包含八個卦象。這種排列方式,我們簡稱為帛書八宮。

【乾宮】乾卦,否卦,遯卦,履卦,訟卦,同人,無妄,姤卦
【艮宮】艮卦,大畜,剝卦,損卦,蒙卦,賁卦,頤卦,蠱卦
【坎宮】坎卦,需卦,比卦,蹇卦,節卦,既濟,屯卦,井卦
【震宮】震卦,大壯,豫卦,小過,歸妹,解卦,豐卦,恆卦
【坤宮】坤卦,泰卦,謙卦,臨卦,師卦,明夷,復卦,升卦
【兌宮】兌卦,夬卦,萃卦,咸卦,困卦,革卦,隨卦,大過
【離宮】離卦,大有,晉卦,旅卦,睽卦,未濟,噬嗑,鼎卦
【巽宮】巽卦,小畜,觀卦,漸卦,中孚,渙卦,家人,益卦

(三)序數方陣

我們將六十四卦在《周易》卦序中的序數代入帛書八宮中,得出一個由序數構成的八行八列方陣。實際上,帛書八宮可以視為一種特殊的卦象坐標系。
□□□:第一列, 第二列,第三列, 第四列,第五列, 第六列,第七列, 第八列
第一行:乾卦01,否卦12,遯卦33,履卦10,訟卦06,同人13,無妄25,姤卦44
第二行:艮卦52,大畜26,剝卦23,損卦41,蒙卦04,賁卦22,頤卦27,蠱卦18
第三行:坎卦29,需卦05,比卦08,蹇卦39,節卦60,既濟63,屯卦03,井卦48
第四行:震卦51,大壯34,豫卦16,小過62,歸妹54,解卦40,豐卦55,恆卦32
第五行:坤卦02,泰卦11,謙卦15,臨卦19,師卦07,明夷36,復卦24,升卦46
第六行:兌卦58,夬卦43,萃卦45,咸卦31,困卦47,革卦49,隨卦17,大過28
第七行:離卦30,大有14,晉卦35,旅卦56,睽卦38,未濟64,噬嗑21,鼎卦50
第八行:巽卦57,小畜09,觀卦20,漸卦53,中孚61,渙卦59,家人37,益卦42

(四)縱橫求和
(1)行和計算
第一行,和為01+12+33+10+06+13+25+44=144。
第二行,和為52+26+23+41+04+22+27+18=213。
第三行,和為29+05+08+39+60+63+03+48=255。
第四行,和為51+34+16+62+54+40+55+32=344。
第五行,和為02+11+15+19+07+36+24+46=160。
第六行,和為58+43+45+31+47+49+17+28=318。
第七行,和為30+14+35+56+38+64+21+50=308。
第八行,和為57+09+20+53+61+59+37+42=338。
總和為144+213+255+344+160+318+308+338=2080。

(2)列和計算
第一列,和為01+52+29+51+02+58+30+57=280。
第二列,和為12+26+05+34+11+43+14+09=154。
第三列,和為33+23+08+16+15+45+35+20=195。
第四列,和為10+41+39+62+19+31+56+53=311。
第五列,和為06+04+60+54+07+47+38+61=277。
第六列,和為13+22+63+40+36+49+64+59=346。
第七列,和為25+27+03+55+24+17+21+37=209。
第八列,和為44+18+48+32+46+28+50+42=308。
總和為280+154+195+311+277+346+209+308=2080。

(五)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第二行+第三行+第五行+第六行+第八行=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第二行+第三行+第五行+第六行+第八行=213+255+160+318+338=1284,總和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第一行+第四行+第七行=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第一行+第四行+第七行=144+344+308=796,總和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然後開平方,解出Ω=0.6186……

③第二行+第三行+第四行+第六行+第七行+第八行=總和×Ω+總和×Ω×Ω×Ω,第一、三層次黃金分割
驗算:第二行+第三行+第四行+第六行+第七行+第八行=213+255+344+318+308+338=1776,總和=2080,
Ω+Ω×Ω×Ω=1776÷2080=0.8538……
然後開立方,解出Ω=0.6179……

④第一行+第五行=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:第一行+第五行=144+160=304,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080=0.1461……
然後開四次方,解出Ω=0.6183……

(2)列的結構
①第二列+第三列+第四列+第五列+第六列=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第二列+第三列+第四列+第五列+第六列=154+195+311+277+346=1283,總和=2080,
解出Ω=1283÷2080=0.6168……

②第一列+第七列+第八列=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第一列+第七列+第八列=280+209+308=797,總和=2080,
Ω×Ω=797÷2080=0.3831……
然後開平方,解出Ω=0.6190……

③第二列+第四列+第七列+第八列=總和×Ω×Ω×Ω×2,第一層次黃金分割
驗算:第二列+第四列+第七列+第八列=154+311+209+308=982,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=982÷2÷2080=0.2360……
然後開立方,解出Ω=1285÷2080=0.61802……

④第一列+第三列+第五列+第六列=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第一列+第三列+第五列+第六列=280+195+277+346=1098,總和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1098÷2080=0.5278……
這是一個四次方程,解出Ω=0.61804……
我們注意到,列的計算中,③與④精度非常高,代價是①與②誤差略大。

總體而言,行與列,有如下兩種不同的模式。
【行的模式】
總和=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=(總和×Ω+總和×Ω×Ω×Ω)+總和×Ω×Ω×Ω×Ω
【列的模式】
總和=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=(總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω)+總和×Ω×Ω×Ω×2
依照“續三”中的術語,這是一個奇異黃金方陣。 

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