算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續十)

九數


【正見網2015年11月13日】

數年前,九數遇到一位同修,他告訴我《周易》卦序蘊藏著周文王的真傳家學。

我們在前面的“續八”中說過,後天卦序與先天卦序,具有奇妙的對偶特性。

這篇短文中,九數以南宋楊輝留下的“易數圖”為典範,說明卦序置換的對偶作用。
【1】“續九”中,楊輝易數圖→代入後天卦序→卦象方陣→代入先天卦序→黃金分割
【2】“續十”中,楊輝易數圖→代入先天卦序→卦象方陣→代入後天卦序→黃金分割

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。

上經:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,坎卦第二十九,離卦第三十。

下經:咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)邵雍方圖
北宋理學家邵雍,有先天六十四卦方圖傳世。
坤卦01,剝卦02,比卦03,觀卦04,豫卦05,晉卦06,萃卦07,否卦08;
謙卦09,艮卦10,蹇卦11,漸卦12,小過13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
師卦17,蒙卦18,坎卦19,渙卦20,解卦21,未濟22,困卦23,訟卦24;
升卦25,蠱卦26,井卦27,巽卦28,恆卦29,鼎卦30,大過31,姤卦32;
復卦33,頤卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,隨卦39,無妄40;
明夷41,賁卦42,既濟43,家人44,豐卦45,離卦46,革卦47,同人48;
臨卦49,損卦50,節卦51,中孚52,歸妹53,睽卦54,兌卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壯61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)楊輝易數
南宋算學家楊輝,留下的縱橫圖中,有兩幅名為易數圖,其中一個叫陽圖,一個叫陰圖。我們這裡記錄的是陽圖。

61,04,03,62,02,63,64,01;
52,13,14,51,15,50,49,16;
45,20,19,46,18,47,48,17;
36,29,30,35,31,34,33,32;
05,60,59,06,58,07,08,57;
12,53,54,11,55,10,09,56;
21,44,43,22,42,23,24,41;
28,37,38,27,39,26,25,40。

與洛書相似,這個八行八列的方陣,具有縱、橫、斜三線等和的特性。每行八個數的和是260,每列八個數的和是260,對角線上八個數和也是260。

(四)卦象方陣
我們將楊輝易數圖中的數字,按照《周易》卦序,置換為卦象,得到一個八行八列的卦象方陣。
中孚,蒙卦,屯卦,小過,坤卦,既濟,未濟,乾卦;
艮卦,同人,大有,震卦,謙卦,鼎卦,革卦,豫卦;
萃卦,觀卦,臨卦,升卦,蠱卦,困卦,井卦,隨卦;
明夷,坎卦,離卦,晉卦,咸卦,大壯,遯卦,恆卦;
需卦,節卦,渙卦,訟卦,兌卦,師卦,比卦,巽卦;
否卦,漸卦,歸妹,泰卦,豐卦,履卦,小畜,旅卦;
噬嗑,姤卦,夬卦,賁卦,益卦,剝卦,復卦,損卦;
大過,家人,睽卦,頤卦,蹇卦,大畜,無妄,解卦。

(五)序數方陣
有了卦象方陣,我們將邵雍方圖中的數字抄寫在卦名旁邊,得到一個八行八列的序數方陣。
中孚52,蒙卦18,屯卦35,小過13,坤卦01,既濟43,未濟22,乾卦64;
艮卦10,同人48,大有62,震卦37,謙卦09,鼎卦30,革卦47,豫卦05;
萃卦07,觀卦04,臨卦49,升卦25,蠱卦26,困卦23,井卦27,隨卦39;
明夷41,坎卦19,離卦46,晉卦06,咸卦15,大壯61,遯卦16,恆卦29;
需卦59,節卦51,渙卦20,訟卦24,兌卦55,師卦17,比卦03,巽卦28;
否卦08,漸卦12,歸妹53,泰卦57,豐卦45,履卦56,小畜60,旅卦14;
噬嗑38,姤卦32,夬卦63,賁卦42,益卦36,剝卦02,復卦33,損卦50;
大過31,家人44,睽卦54,頤卦34,蹇卦11,大畜58,無妄40,解卦21。

(六)行列求和
有了序數方陣,我們開始計算。
(1)橫向計算
第一行,和為52+18+35+13+01+43+22+64=248。
第二行,和為10+48+62+37+09+30+47+05=248。
第三行,和為07+04+49+25+26+23+27+39=200。
第四行,和為41+19+46+06+15+61+16+29=233。
第五行,和為59+51+20+24+55+17+03+28=257。
第六行,和為08+12+53+57+45+56+60+14=305。
第七行,和為38+32+63+42+36+02+33+50=296。
第八行,和為31+44+54+34+11+58+40+21=293。
總和為248+248+200+233+257+305+296+293=2080。

(2)縱向計算
第一列,和為52+10+07+41+59+08+38+31=246。
第二列,和為18+48+04+19+51+12+32+44=228。
第三列,和為35+62+49+46+20+53+63+54=382。
第四列,和為13+37+25+06+24+57+42+34=238。
第五列,和為01+09+26+15+55+45+36+11=198。
第六列,和為43+30+23+61+17+56+02+58=290。
第七列,和為22+47+27+16+03+60+33+40=248。
第八列,和為64+05+39+29+28+14+50+21=250。
總和為246+228+382+238+198+290+248+250=2080。

(七)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第一行+第二行+第六行+第七行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第一行+第二行+第六行+第七行=248+248+305+296=1097,總和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1097÷2080=0.5274……
這是一個四次方程,解出Ω= 0.6178……

②第三行+第四行+第五行+第八行=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:第三行+第四行+第五行+第八行=200+233+257+293=983,總和=2080,
Ω×Ω×Ω= 983÷2÷2080=0.2362……
然後開立方,解出Ω= 0.6182……

(2)列的結構
①第二列+第三列+第五列+第六列=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第二列+第三列+第五列+第六列=228+382+198+290=1098,總和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1098÷2080=0.5278……
這是一個四次方程,解出Ω= 0.61804……

②第一列+第四列+第七列+第八列=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:第一列+第四列+第七列+第八列=246+238+248+250=982,總和=2080,
Ω×Ω×Ω= 982÷2÷2080=0.2360……
然後開立方,解出Ω= 0.61802……
我們注意到,列的分割精度較高,所得結果與黃金比率Ω=0.6180339……比較,誤差小於十萬分之一。

總體而言,行與列,包含有如下相同的模式。
總和=(總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω)+總和×Ω×Ω×Ω×2

依照“續三”中的術語,我們由楊輝易數圖變化出的卦象序數方陣,是一個奇異黃金方陣。

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