算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續十六)

九數


【正見網2015年11月30日】

魏伯陽的生平事跡未見於正史。葛洪的《神仙傳》記載,魏伯陽出身高貴,而性好道術,不肯仕宦,閒居養性,時人莫知其所從來。

這篇短文,九數採用魏伯陽所著《周易參同契》的觀點,將《周易》卦序作為時間序列。然後,我們作一點關於黃金分割的計算。

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。

上經:乾卦,坤卦,屯卦,蒙卦,需卦,訟卦,師卦,比卦,小畜,履卦,泰卦,否卦,同人,大有,謙卦,豫卦,隨卦,蠱卦,臨卦,觀卦,噬嗑,賁卦,剝卦,復卦,無妄,大畜,頤卦,大過,坎卦,離卦。

下經:咸卦,恆卦,遯卦,大壯,晉卦,明夷,家人,睽卦,蹇卦,解卦,損卦,益卦,夬卦,姤卦,萃卦,升卦,困卦,井卦,革卦,鼎卦,震卦,艮卦,漸卦,歸妹,豐卦,旅卦,巽卦,兌卦,渙卦,節卦,中孚,小過,既濟,未濟。

我們將陽爻(—)換成數字1,陰爻(- -)換成數字0,這樣每個卦可以換成一個六位數。我們約定,自初爻至上爻,轉換為自首位至末位。假定得出一個六位數abcdef,那麼初爻為a,二爻為b,三爻為c,四爻為d,五爻為e,上爻為f。

上經
乾卦111111,坤卦000000,屯卦100010,蒙卦010001,需卦111010,訟卦010111,
師卦010000,比卦000010,小畜111011,履卦110111,泰卦111000,否卦000111,
同人101111,大有111101,謙卦001000,豫卦000100,隨卦100110,蠱卦011001,
臨卦110000,觀卦000011,噬嗑100101,賁卦101001,剝卦000001,復卦100000,
無妄100111,大畜111001,頤卦100001,大過011110,坎卦010010,離卦101101。

下經
咸卦001110,恆卦011100,遯卦001111,大壯111100,晉卦000101,明夷101000,
家人101011,睽卦110101,蹇卦001010,解卦010100,損卦110001,益卦100011,
夬卦111110,姤卦011111,萃卦000110,升卦011000,困卦010110,井卦011010,
革卦101110,鼎卦011101,震卦100100,艮卦001001,漸卦001011,歸妹110100,
豐卦101100,旅卦001101,巽卦011011,兌卦110110,渙卦010011,節卦110010,
中孚110011,小過001100,既濟101010,未濟010101。

(四)二進制數
我們已經將全部的《周易》六十四卦,用六十四個六位數表示出來了。接下來,我們將這些六位數看作是二進制數。實質是將六位數abcdef映射為32a+16b+8c+4d+2e+f,相當於將由數碼0與1表示的六位數一律往二進制數映射。

上經
63乾卦,00坤卦,34屯卦,17蒙卦,58需卦,23訟卦,16師卦,02比卦,59小畜,55履卦,
56泰卦,07否卦,47同人,61大有,08謙卦,04豫卦,38隨卦,25蠱卦,48臨卦,03觀卦,
37噬嗑,41賁卦,01剝卦,32復卦,39無妄,57大畜,33頤卦,30大過,18坎卦,45離卦。

下經
14咸卦,28恆卦,15遯卦,60大壯,05晉卦,40明夷,43家人,53睽卦,10蹇卦,20解卦,
49損卦,35益卦,62夬卦,31姤卦,06萃卦,24升卦,22困卦,26井卦,46革卦,29鼎卦,
36震卦,09艮卦,11漸卦,52歸妹,44豐卦,13旅卦,27巽卦,54兌卦,19渙卦,50節卦,
51中孚,12小過,42既濟,21未濟。

(三)周天循環
魏伯陽在《周易參同契》中將乾坤坎離四卦隱去,以其餘的六十卦作為計時單元。
《周易參同契》原文如下:
月節有五六,經緯奉日使,兼併為六十,剛柔有表裡。
朔旦屯直事,至暮蒙當受,晝夜各一卦,用之依次序。

第一天:白晝34屯卦,黑夜17蒙卦,卦數和為x[01]=34+17=51
第二天:白晝58需卦,黑夜23訟卦,卦數和為x[02]=58+23=81
第三天:白晝16師卦,黑夜02比卦,卦數和為x[03]=16+02=18
第四天:白晝59小畜,黑夜55履卦,卦數和為x[04]=59+55=114
第五天:白晝56泰卦,黑夜07否卦,卦數和為x[05]=56+07=63
第六天:白晝47同人,黑夜61大有,卦數和為x[06]=47+61=108
第七天:白晝08謙卦,黑夜04豫卦,卦數和為x[07]=08+04=12
第八天:白晝38隨卦,黑夜25蠱卦,卦數和為x[08]=38+25=63
第九天:白晝48臨卦,黑夜03觀卦,卦數和為x[09]=48+03=51
第十天:白晝37噬嗑,黑夜41賁卦,卦數和為x[10]=37+41=78
第十一天:白晝01剝卦,黑夜32復卦,卦數和為x[11]=01+32=33
第十二天:白晝39無妄,黑夜57大畜,卦數和為x[12]=39+57=96
第十三天:白晝33頤卦,黑夜30大過,卦數和為x[13]=33+30=63
第十四天:白晝14咸卦,黑夜28恆卦,卦數和為x[14]=14+28=42
第十五天:白晝15遯卦,黑夜60大壯,卦數和為x[15]=15+60=75
第十六天:白晝05晉卦,黑夜40明夷,卦數和為x[16]=05+40=45
第十七天:白晝43家人,黑夜53睽卦,卦數和為x[17]=43+53=96
第十八天:白晝10蹇卦,黑夜20解卦,卦數和為x[18]=10+20=30
第十九天:白晝49損卦,黑夜35益卦,卦數和為x[19]=49+35=84
第二十天:白晝62夬卦,黑夜31姤卦,卦數和為x[20]=62+31=93
第二十一天:白晝06萃卦,黑夜24升卦,卦數和為x[21]=06+24=30
第二十二天:白晝22困卦,黑夜26井卦,卦數和為x[22]=22+26=48
第二十三天:白晝46革卦,黑夜29鼎卦,卦數和為x[23]=46+29=75
第二十四天:白晝36震卦,黑夜09艮卦,卦數和為x[24]=36+09=45
第二十五天:白晝11漸卦,黑夜52歸妹,卦數和為x[25]=11+52=63
第二十六天:白晝44豐卦,黑夜13旅卦,卦數和為x[26]=44+13=57
第二十七天:白晝27巽卦,黑夜54兌卦,卦數和為x[27]=27+54=81
第二十八天:白晝19渙卦,黑夜50節卦,卦數和為x[28]=19+50=69
第二十九天:白晝51中孚,黑夜12小過,卦數和為x[29]=51+12=63
第三十天:白晝42既濟,黑夜21未濟,卦數和為x[30]=42+21=63

我們計算每天晝夜配卦的數字之和,得到了一個包含30項的數列。
x[01]=51,x[02]=81,x[03]=18,x[04]=114,x[05]=63,x[06]=108,x[07]=12,x[08]=63,
x[09]=51,x[10]=78,x[11]=33,x[12]=96,x[13]=63,x[14]=42,x[15]=75,x[16]=45,
x[17]=96,x[18]=30,x[19]=84,x[20]=93,x[21]=30,x[22]=48,x[23]=75,x[24]=45,
x[25]=63,x[26]=57,x[27]=81,x[28]=69,x[29]=63,x[30]=63。

計算可知,這三十個數的和為1890。
x[01]+x[02]+x[03]+……+x[29]+x[30]
=51+81+18+……+63+63
=1890
一個簡單的想法是,去掉乾坤坎離之和的六十卦,可以按照卦象互補的原則,劃分為三十對,每對之和均為六十三。1890=63×30。

(四)甲子配卦
接下來,我們從六十甲子的角度看問題。由於魏伯陽只取六十卦為用,在數目上正好是甲子循環之數。我們考慮將卦象與甲子匹配,按照自然順序建立一一映射。

甲子→屯卦,乙丑→蒙卦,丙寅→需卦,丁卯→訟卦,戊辰→師卦,己巳→比卦,
庚午→小畜,辛未→履卦,壬申→泰卦,癸酉→否卦,甲戌→同人,乙亥→大有,
丙子→謙卦,丁丑→豫卦,戊寅→隨卦,己卯→蠱卦,庚辰→臨卦,辛巳→觀卦,
壬午→噬嗑,癸未→賁卦,甲申→剝卦,乙酉→復卦,丙戌→無妄,丁亥→大畜,
戊子→頤卦,己丑→大過。庚寅→咸卦,辛卯→恆卦,壬辰→遯卦,癸巳→大壯,
甲午→晉卦,乙未→明夷,丙申→家人,丁酉→睽卦,戊戌→蹇卦,己亥→解卦,
庚子→損卦,辛丑→益卦,壬寅→夬卦,癸卯→姤卦,甲辰→萃卦,乙巳→升卦,
丙午→困卦,丁未→井卦,戊申→革卦,己酉→鼎卦,庚戌→震卦,辛亥→艮卦,
壬子→漸卦,癸丑→歸妹,甲寅→豐卦,乙卯→旅卦,丙辰→巽卦,丁巳→兌卦,
戊午→渙卦,己未→節卦,庚申→中孚,辛酉→小過,壬戌→既濟,癸亥→未濟。

(五)天干聚類
[1]天干列表
【甲】甲子→34屯卦,甲戌→47同人,甲申→01剝卦,甲午→05晉卦,甲辰→06萃卦,甲寅→44豐卦,
【乙】乙丑→17蒙卦,乙亥→61大有,乙酉→32復卦,乙未→40明夷,乙巳→24升卦,乙卯→13旅卦,
【丙】丙寅→58需卦,丙子→08謙卦,丙戌→39無妄,丙申→43家人,丙午→22困卦,丙辰→27巽卦,
【丁】丁卯→23訟卦,丁丑→04豫卦,丁亥→57大畜,丁酉→53睽卦,丁未→26井卦,丁巳→54兌卦,
【戊】戊辰→16師卦,戊寅→38隨卦,戊子→33頤卦,戊戌→10蹇卦,戊申→46革卦,戊午→19渙卦,
【己】己巳→02比卦,己卯→25蠱卦,己丑→30大過,己亥→20解卦,己酉→29鼎卦,己未→50節卦,
【庚】庚午→59小畜,庚辰→48臨卦,庚寅→14咸卦,庚子→49損卦,庚戌→36震卦,庚申→51中孚,
【辛】辛未→55履卦,辛巳→03觀卦,辛卯→28恆卦,辛丑→35益卦,辛亥→09艮卦,辛酉→12小過,
【壬】壬申→56泰卦,壬午→37噬嗑,壬辰→15遯卦,壬寅→62夬卦,壬子→11漸卦,壬戌→42既濟,
【癸】癸酉→07否卦,癸未→41賁卦,癸巳→60大壯,癸卯→31姤卦,癸丑→52歸妹,癸亥→21未濟。

[2]歸類求和
甲=甲子+甲戌+甲申+甲午+甲辰+甲寅=34+47+01+05+06+44=137
乙=乙丑+乙亥+乙酉+乙未+乙巳+乙卯=17+61+32+40+24+13=187
丙=丙寅+丙子+丙戌+丙申+丙午+丙辰=58+08+39+43+22+27=197
丁=丁卯+丁丑+丁亥+丁酉+丁未+丁巳=23+04+57+53+26+54=217
戊=戊辰+戊寅+戊子+戊戌+戊申+戊午=16+38+33+10+46+19=162
己=己巳+己卯+己丑+己亥+己酉+己未=02+25+30+20+29+50=156
庚=庚午+庚辰+庚寅+庚子+庚戌+庚申=59+48+14+49+36+51=257
辛=辛未+辛巳+辛卯+辛丑+辛亥+辛酉=55+03+28+35+09+12=142
壬=壬申+壬午+壬辰+壬寅+壬子+壬戌=56+37+15+62+11+42=223
癸=癸酉+癸未+癸巳+癸卯+癸丑+癸亥=07+41+60+31+52+21=212

[3]黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。
①丙+丁+戊+己+壬+癸=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:丙+丁+戊+己+壬+癸=197+217+162+156+223+212=1167,總和=1890,
解出Ω=1167÷1890=0.6174……

②甲+乙+庚+辛=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:甲+乙+庚+辛=137+187+257+142=723,總和=1890,
Ω×Ω=723÷1890=0.3825……
然後開平方,解出Ω=0.6184……

③壬=總和×Ω×Ω×Ω÷2,第三層次黃金分割
驗算:壬=223,總和=1890,
Ω×Ω×Ω=223×2÷1890=0.2359……
然後開立方,解出Ω=0.6179……
這一組,精度極高。

④甲=總和×Ω×Ω×Ω×Ω÷2,第四層次黃金分割
驗算:甲=137,總和=1890,
Ω×Ω×Ω×Ω=137×2÷1890=0.1449……
然後開四次方,解出Ω=0.6170……

(六)地支聚類
[1]地支列表
【子】甲子→34屯卦,丙子→08謙卦,戊子→33頤卦,庚子→49損卦,壬子→11漸卦,
【丑】乙丑→17蒙卦,丁丑→04豫卦,己丑→30大過,辛丑→35益卦,癸丑→52歸妹,
【寅】丙寅→58需卦,戊寅→38隨卦,庚寅→14咸卦,壬寅→62夬卦,甲寅→44豐卦,
【卯】丁卯→23訟卦,己卯→25蠱卦,辛卯→28恆卦,癸卯→31姤卦,乙卯→13旅卦,
【辰】戊辰→16師卦,庚辰→48臨卦,壬辰→15遯卦,甲辰→06萃卦,丙辰→27巽卦,
【巳】己巳→02比卦,辛巳→03觀卦,癸巳→60大壯,乙巳→24升卦,丁巳→54兌卦,
【午】庚午→59小畜,壬午→37噬嗑,甲午→05晉卦,丙午→22困卦,戊午→19渙卦,
【未】辛未→55履卦,癸未→41賁卦,乙未→40明夷,丁未→26井卦,己未→50節卦,
【申】壬申→56泰卦,甲申→01剝卦,丙申→43家人,戊申→46革卦,庚申→51中孚,
【酉】癸酉→07否卦,乙酉→32復卦,丁酉→53睽卦,己酉→29鼎卦,辛酉→12小過,
【戌】甲戌→47同人,丙戌→39無妄,戊戌→10蹇卦,庚戌→36震卦,壬戌→42既濟,
【亥】乙亥→61大有,丁亥→57大畜,己亥→20解卦,辛亥→09艮卦,癸亥→21未濟。

[2]歸類求和
子=甲子+丙子+戊子+庚子+壬子=34+08+33+49+11=135
丑=乙丑+丁丑+己丑+辛丑+癸丑=17+04+30+35+52=138
寅=丙寅+戊寅+庚寅+壬寅+甲寅=58+38+14+62+44=216
卯=丁卯+己卯+辛卯+癸卯+乙卯=23+25+28+31+13=120
辰=戊辰+庚辰+壬辰+甲辰+丙辰=16+48+15+06+27=112
巳=己巳+辛巳+癸巳+乙巳+丁巳=02+03+60+24+54=143
午=庚午+壬午+甲午+丙午+戊午=59+37+05+22+19=142
未=辛未+癸未+乙未+丁未+己未=55+41+40+26+50=212
申=壬申+甲申+丙申+戊申+庚申=56+01+43+46+51=197
酉=癸酉+乙酉+丁酉+己酉+辛酉=07+32+53+29+12=133
戌=甲戌+丙戌+戊戌+庚戌+壬戌=47+39+10+36+42=174
亥=乙亥+丁亥+己亥+辛亥+癸亥=61+57+20+09+21=168

請仔細看《周易參同契》中魏伯陽的話,“朔旦屯直事,至暮蒙當受”。
據此,我們指出一個有趣的時間現象,旦暮均衡。
寅+卯+辰+巳+午+未=申+酉+戌+亥+子+丑
寅+卯+辰+巳+午+未=216+120+112+143+142+212=945
申+酉+戌+亥+子+丑=197+133+174+168+135+138=945

[3]黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。
①子+丑+辰+巳+午+申+酉+亥=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:子+丑+辰+巳+午+申+酉+亥=135+138+112+143+142+197+133+168=1168,總和=1890,
解出Ω=1168÷1890=0.6179……

②子+寅+卯+巳+未+戌+亥=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:子+寅+卯+巳+未+戌+亥=135+216+120+143+212+174+168=1168,總和=1890,
解出Ω=1168÷1890=0.6179……

③寅+卯+未+戌=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:寅+卯+未+戌=216+120+212+174=722,總和=1890,
Ω×Ω=722÷1890=0.3820……
然後開平方,解出Ω=0.6180……

④丑+辰+午+申+酉=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:丑+辰+午+申+酉=138+112+142+197+133=722,總和=1890,
Ω×Ω=722÷1890=0.3820……
然後開平方,解出Ω=0.6180……

⑤子+巳+亥=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:子+巳+亥=135+143+168=446,總和=1890,
Ω×Ω×Ω=446÷1890=0.2359……
然後開立方,解出Ω=0.6179……

⑥子+丑+辰+午+申+亥=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:子+丑+辰+午+申+亥=135+138+112+142+197+168=892,總和=1890,
Ω×Ω×Ω=892÷2÷1890=0.2359……
然後開立方,解出Ω=0.6179……

⑦巳+酉=丑+丑=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:巳+酉=143+133=276,丑+丑=138+138=276,總和=1890,
Ω×Ω×Ω×Ω=276÷1890=0.1460……
然後開四次方,解出Ω=0.6181……

(七)五行納音
[1]甲子納音
甲子乙丑金,丙寅丁卯火,戊辰己巳木,庚午辛未土,壬申癸酉金,
甲戌乙亥火,丙子丁丑水,戊寅己卯土,庚辰辛巳金,壬午癸未木,
甲申乙酉水,丙戌丁亥土,戊子己丑火,庚寅辛卯木,壬辰癸巳水,
甲午乙未金,丙申丁酉火,戊戌己亥木,庚子辛丑土,壬寅癸卯金,
甲辰乙巳火,丙午丁未水,戊申己酉土,庚戌辛亥金,壬子癸丑木,
甲寅乙卯水,丙辰丁巳土,戊午己未火,庚申辛酉木,壬戌癸亥水。
[2]納音歸類
金x[01]=51,火x[02]=81,木x[03]=18,土x[04]=114,金x[05]=63,
火x[06]=108,水x[07]=12,土x[08]=63,金x[09]=51,木x[10]=78,
水x[11]=33,土x[12]=96,火x[13]=63,木x[14]=42,水x[15]=75,
金x[16]=45,火x[17]=96,木x[18]=30,土x[19]=84,金x[20]=93,
火x[21]=30,水x[22]=48,土x[23]=75,金x[24]=45,木x[25]=63,
水x[26]=57,土x[27]=81,火x[28]=69,木x[29]=63,水x[30]=63。

①納音土,和數為x[04]+x[08]+x[12]+x[19]+x[23]+x[27]=114+63+96+84+75+81=513
②納音金,和數為x[01]+x[05]+x[09]+x[16]+x[20]+x[24]=51+63+51+45+93+45=348
③納音水,和數為x[07]+x[11]+x[15]+x[22]+x[26]+x[30]=12+33+75+48+57+63=288
④納音木,和數為x[03]+x[10]+x[14]+x[18]+x[25]+x[29]=18+78+42+30+63+63=294
⑤納音火,和數為x[02]+x[06]+x[13]+x[17]+x[21]+x[28]=81+108+63+96+30+69=447

[3]黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。
①土+金+水+木=總和×Ω×Ω×2,第二層次黃金分割
驗算:土+金+水+木=513+348+288+294=1443,總和=1890,
Ω×Ω=1443÷2÷1890=0.3817……
然後開平方,解出Ω=0.6178……

②火=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:火=447,總和=1890,
Ω×Ω×Ω=447÷1890=0.2365……
然後開立方,解出Ω=0.6184……

通過計算,我們注意到,五行納音是一種構造非常獨特的術數模型。
如果用兔子數列描述,我們這裡計算的黃金比率,大體近似為13:21,21:34,34:55,55:89,89:144。從精度而言,關於地支的計算最優,與黃金比率Ω=0.6180339……比較,誤差控制最好者小於萬分之一。

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