算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續十三)

九數


【正見網2015年11月22日】

圖論是具有應用價值的一門數學,起源於一些趣味遊戲問題。瑞士人歐拉,是十八世紀最傑出的數學家。歐拉獲得的早期圖論研究成果,使得他被稱為圖論奠基人。歐拉在研究棋盤跳馬時,獲得了一個有趣的馬步方陣。

這篇短文中,九數將《周易》卦序置換作用於歐拉的馬步方陣,得到一個八行八列的卦序方陣;然後,我們對卦序方陣作一點計算,觀察卦序方陣蘊涵的黃金分割現象。結果表明,歐拉方陣在《周易》卦序置換的作用下,演化為一個奇異黃金方陣。

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。

上經:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,坎卦第二十九,離卦第三十。

下經:咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)邵雍方圖
北宋理學家邵雍,有先天六十四卦方圖傳世。
坤卦01,剝卦02,比卦03,觀卦04,豫卦05,晉卦06,萃卦07,否卦08;
謙卦09,艮卦10,蹇卦11,漸卦12,小過13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
師卦17,蒙卦18,坎卦19,渙卦20,解卦21,未濟22,困卦23,訟卦24;
升卦25,蠱卦26,井卦27,巽卦28,恆卦29,鼎卦30,大過31,姤卦32;
復卦33,頤卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,隨卦39,無妄40;
明夷41,賁卦42,既濟43,家人44,豐卦45,離卦46,革卦47,同人48;
臨卦49,損卦50,節卦51,中孚52,歸妹53,睽卦54,兌卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壯61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)遍歷棋盤
圖論歷史上,有一個有趣的“周遊世界”問題,最初被稱為“騎士周遊世界”。這個問題,是在西洋棋棋盤上表述的。

【問題】在八行八列的西洋棋棋盤上,象棋中的馬(又稱騎士),能否從某個格子出發,不重複的跳遍所有的六十四個格子,最後回到起點?
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西元1757年,歐拉在寫給哥德巴赫的一封信中,給出了騎士周遊世界問題的一種解法。
兩年後,歐拉專門發表了討論各種棋盤的騎士周遊世界問題的論文。

(四)歐拉方陣
在研究騎士周遊世界問題的過程中,歐拉得到了一個有趣的八階方陣。
01, 48, 31, 50, 33, 16, 63, 18;
30, 51, 46, 03, 62, 19, 14, 35;
47, 02, 49, 32, 15, 34, 17, 64;
52, 29, 04, 45, 20, 61, 36, 13;
05, 44, 25, 56, 09, 40, 21, 60;
28, 53, 08, 41, 24, 57, 12, 37;
43, 06, 55, 26, 39, 10, 59, 22;
54, 27, 42, 07, 58, 23, 38, 11。

這個八階方陣,有兩個最顯著的特點。
其一,按照01→02→03→……→63→64的線路走完,恰好每一步都符合西洋棋棋盤上跳馬的規則。而且,□格子中擺放的都是單數,■格子中擺放的都是雙數。
其二,按照南宋楊輝縱橫圖的要求,正好符合洛書模式,縱橫斜三個方向八數等和。每行和為260,每列和為260,每條對角線和為260。

(五)卦象排列
我們將歐拉方陣中的數字,按照邵雍方圖,置換為卦象,得到一個八行八列的卦象方陣。
坤卦, 同人, 大過, 損卦, 復卦, 遯卦, 夬卦, 蒙卦;
鼎卦, 節卦, 離卦, 比卦, 大有, 坎卦, 旅卦, 屯卦;
革卦, 剝卦, 臨卦, 姤卦, 咸卦, 頤卦, 師卦, 乾卦;
中孚, 恆卦, 觀卦, 豐卦, 渙卦, 大壯, 益卦, 小過;
豫卦, 家人, 升卦, 履卦, 謙卦, 無妄, 解卦, 小畜;
巽卦, 歸妹, 否卦, 明夷, 訟卦, 泰卦, 漸卦, 震卦;
既濟, 晉卦, 兌卦, 蠱卦, 隨卦, 艮卦, 需卦, 未濟;
睽卦, 井卦, 賁卦, 萃卦, 大畜, 困卦, 噬嗑, 蹇卦。

(六)序數方陣
有了卦象方陣,我們將《周易》卦序數字抄寫在卦名旁邊,得到一個八行八列的序數方陣。
坤卦02, 同人13, 大過28, 損卦41, 復卦24, 遯卦33, 夬卦43, 蒙卦04;
鼎卦50, 節卦60, 離卦30, 比卦08, 大有14, 坎卦29, 旅卦56, 屯卦03;
革卦49, 剝卦23, 臨卦19, 姤卦44, 咸卦31, 頤卦27, 師卦07, 乾卦01;
中孚61, 恆卦32, 觀卦20, 豐卦55, 渙卦59, 大壯34, 益卦42, 小過62;
豫卦16, 家人37, 升卦46, 履卦10, 謙卦15, 無妄25, 解卦40, 小畜09;
巽卦57, 歸妹54, 否卦12, 明夷36, 訟卦06, 泰卦11, 漸卦53, 震卦51;
既濟63, 晉卦35, 兌卦58, 蠱卦18, 隨卦17, 艮卦52, 需卦05, 未濟64;
睽卦38, 井卦48, 賁卦22, 萃卦45, 大畜26, 困卦47, 噬嗑21, 蹇卦39。

(七)行列求和
接下來,我們對序數方陣作一點計算。
(1)橫向計算
第一行,和為02+13+28+41+24+33+43+04=188。
第二行,和為50+60+30+08+14+29+56+03=250。
第三行,和為49+23+19+44+31+27+07+01=201。
第四行,和為61+32+20+55+59+34+42+62=365。
第五行,和為16+37+46+10+15+25+40+09=198。
第六行,和為57+54+12+36+06+11+53+51=280。
第七行,和為63+35+58+18+17+52+05+64=312。
第八行,和為38+48+22+45+26+47+21+39=286。
總和為188+250+201+365+198+280+312+286=2080。

(2)縱向計算
第一列,和為02+50+49+61+16+57+63+38=336。
第二列,和為13+60+23+32+37+54+35+48=302。
第三列,和為28+30+19+20+46+12+58+22=235。
第四列,和為41+08+44+55+10+36+18+45=257。
第五列,和為24+14+31+59+15+06+17+26=192。
第六列,和為33+29+27+34+25+11+52+47=258。
第七列,和為43+56+07+42+40+53+05+21=267。
第八列,和為04+03+01+62+09+51+64+39=233。
總和為336+302+235+257+192+258+267+233=2080。

(八)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第一行+第二行+第三行+第四行+第六行=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第一行+第二行+第三行+第四行+第六行= 188+250+201+365+280=1284,總和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第五行+第七行+第八行=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第五行+第七行+第八行= 198+312+286=796,總和=2080,
Ω×Ω= 796÷2080=0.3826……
然後開平方,解出Ω= 0.6186……

③第二行+第三行+第四行+第六行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第二行+第三行+第四行+第六行=250+201+365+280=1096,總和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1096÷2080 =0.5269……
這是一個四次方程,解出Ω= 0.6176……

④第一行=總和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω,第五層次黃金分割
驗算:第一行=188,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω×Ω=188÷2080= 0.0903……
然後開五次方,解出Ω= 0.6183……

(2)列的結構
①第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=336+257+192+267+233=1285,總和=2080,
解出Ω= 1285÷2080=0.6177……

②第二列+第三列+第六列=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第二列+第三列+第六列=,總和=2080,
Ω×Ω=795÷2080= 0.3822……
然後開平方,解出Ω= 0.6182……

總體而言,行與列,包含有如下兩種分割模式。
總和
=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω+(總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω)+總和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω

依照“續三”中的術語,這是一個奇異黃金方陣。

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