算術漫談:洛書轉盤與勾股乘方

九數

【正見網2009年04月17日】

中國人很早就知道「勾三股四弦五」,現存於世的古老天算著作《周髀算經》就記載了這一結果。一般來說,直角三角形的兩直角邊平方和等於斜邊的平方。三三而九,四四十六,五五二十五,正好有這樣一種加法關係。

當年,文淵閣大學士李光地(公元1642年―1718年),奉康熙皇帝之命,率四十九名進士,編纂《周易折中》,搜羅百代之精華,集萃前賢之大成。此書附有易學啟蒙篇章,開河洛勾股之先河。

後繼者江永(公元1681年―1762年),字慎修,著作《河洛精蘊》。江永七十九歲時,作此書,闡奧發微,一生研究所得,盡在其中。

二位大儒的著作,在清代,產生了非常深廣的影響。九數這篇短文的題目「勾股乘方」四字就取自《河洛精蘊》,在他們的基礎上,我稍微作了點引申。

四九二
三五七
八一六

(一)洛書轉盤

看了古人留下的許多洛書圖式,我認定萬年淳的外圓內方洛書圖式最適合表現轉盤旋機結構。在《洛書旋機與全息結構》這篇短文中,我們引過一句話――天道左旋,地道右轉。這是古人留下的觀點,在洛書中,可以有非常簡明的數字表現。

[1]陽數天盤
□,九,□
三,◎,七
□,一,□
左旋三倍:一三九七
一→三:1*3=3,化為1*3≡3(模10);
三→九:3*3=9,化為3*3≡9(模10);
九→七:9*3=27,化為9*3≡7(模10);
七→一:27*3=81,化為7*3≡1(模10)。
右旋七倍:一七九三
一→七:1*7=7,化為1*7≡7(模10);
七→九:7*7=49,化為7*7≡9(模10);
九→三:9*7=63,化為9*7≡3(模10);
三→一:3*7=21,化為3*7≡1(模10)。

[2]陰數地盤
四,□,二
□,◎,□
八,□,六
右旋七倍:二四八六
二→四:2*7=14,化為2*7≡4(模10);
四→八:4*7=28,化為4*7≡8(模10);
八→六:8*7=56,化為8*7≡6(模10);
六→二:6*7=42,化為6*7≡2(模10)。
左旋三倍:二六八四
二六:2*3=6,化為2*3≡6(模10);
六八:6*3=18,化為6*3≡8(模10);
八四:8*3=24,化為8*3≡4(模10);
四二:4*3=12,化為4*3≡2(模10)。

很明顯,這裡寫成模10的同餘式,是用觀察乘法所得的結果來描述轉盤數字循環模式的。

洛書口訣中,有一句「左三右七」,我們這裡正是用這種模式來解釋的。左旋三倍,右旋七倍,這是對天盤和地盤都適用的統一模式。可以說,這是最佳的選擇。

(二)周期循環

在《周易折中》裡,記有「河圖為加減之原,洛書為乘除之原」的說法。實際上,在洛書中有完全的加減乘除四則算術規律。從乘方的角度來看洛書,更能夠展現出旋轉的特點。

[1]陽數天盤
□,九,□
三,◎,七
□,一,□
一的乘方個位數字總是按照一循環,周期為一。
三的乘方個位數字總是按照三九七一循環,周期為四。
七的乘方個位數字總是按照七九三一循環,周期為四。
九的乘方個位數字總是按照九一循環,周期為二。
1^1=1;1^2=1,……
3^1=3,3^2=9,3^3=27,3^4=81;3^5=243,……
7^1=7,7^2=49,7^3=343,7^4=2401;7^5=16807,……
9^1=9,9^2=81;9^3=729,……

[2]陰數地盤
四,□,二
□,◎,□
八,□,六
二的乘方個位數字總是按照二四八六循環,周期為四。
四的乘方個位數字總是按照四六循環,周期為二。
六的乘方個位數字總是按照六循環,周期為一。
八的乘方個位數字總是按照八四二六循環,周期為四。
2^1=2,2^2=4,2^3=8,2^4=16;2^5=32,……
4^1=4,4^2=16;4^3=64,……
6^1=6;6^2=36,……
8^1=8,8^2=64,8^3=512,8^4=4096;8^5=32768,……

[3]河洛對照
非常有趣的是,前面歸納的洛書中乘方個位數字規則,如果放在河圖中看,正好是同類的居相同方位。
□□七□□
□□二□□
八三五四九
□□一□□
□□六□□
一六,北方水,恰好周期都為一。
二七,南方火,恰好周期都為四,在洛書中反時針。
三八,東方木,恰好周期都為四,在洛書中順時針。
四九,西方金,恰好周期都為二。

對於這些數來說,有一個共同的特點,無論各自周期是多少,五次方的結果,其個位數字總回到該數本身。寫成同餘式,即a^5≡a(模10)。

(三).d字螺旋

我們從.d字符的角度看洛書,將洛書劃分為四條螺旋臂。四→三→五,二→九→五,六→七→五,八→一→五。這裡的數字排列,是從邊緣走向中心數字五。

四,九,二
三,五,七
八,一,六

仔細看,四→三→五,這分明是勾三股四弦五的模式。難道這洛書也能夠和勾股定理連上?是的,當年江永就是這樣看的。為此,他作了四幅洛書勾股圖,每條螺旋一幅圖。

也許有人會問,那「二→九→五」呢?這也難不住江永,他用前面的「左旋三倍」乘法規則來解釋。
四→三→五:4^2+3^2=5^2
二→九→五:12^2+9^2=15^2
六→七→五:36^2+27^2=45^2
八→一→五:108^2+81^2=135^2

注意到.d字符是旋轉的,上面的模式還可以繼續下去。
四→三→五:324^2+243^2=405^2
二→九→五:972^2+729^2=1215^2
六→七→五:2916^2+2187^2=3645^2
八→一→五:8748^2+6561^2=10935^2

勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→……
股4→12→36→108→324→972→2916→8748→……
弦5→15→45→135→405→1215→3645→10935→……

很明顯,.d字符每旋轉四分之一圓周,數字就都擴大三倍了,如此循環下去,直至無窮。在這個變化過程中,洛書中的數字,記錄的正好是所得大數的個位數字。就這樣,小小的洛書中,存儲了無數的勾股弦數字組合。

(四)黃金比例

黃金比0.618……,這是西方人認識的奇妙數字。許多人都認為,這個數字也寫在洛書裡面了。因為我們分明看見洛書最下方排列的是「八一六」,如此離黃金比也就不遠了。人們可以用這三個數字寫出一個小數0.618,這正好是黃金比的近似值。

四,□,二
□,◎,□
八,□,六

請注意觀察偶數在洛書中的排列,按照順時針方向,從左上角開始,正好是四二六八。非常有趣的是,4+2=6,2+6=8,6+8=14,這裡14的個位數字正好回到了出發點4。這裡,並沒有按照「左旋三倍」的乘法來看,而是不斷的作加法,這正是黃金數列的生成規則!

繼續演算下去,8+14=22,14+22=36,36+58=94,58+94=152,94+152=246,152+246=398。

就這樣,我們得出了一個序列:4,2,6,8,14,22,36,58,94,152,246,398,……很明顯這個序列的個位數字恰好是按照4→2→6→8的順序循環出現。

一般來說,x[1]=4,x[2]=2,x[n]+x[n+1]=x[n+2],由此就可以完全確定這個序列。由於這個序列與斐波那契數列的生成規則一致,都是x[n]+x[n+1]=x[n+2],因此同樣會有相鄰二項的比值x[n]∶x[n+1]越來越接近0.618……(黃金比)。

我們算幾個例子看一下吧。22/36=0.61111…,58/94=0.61702…,94/152=0.61842…,246/398=0.61809…。

好幾個世紀以前,一位德國人克卜勒說過,幾何學裡有兩大寶藏,一個是勾股定理,一個是黃金比例。非常有意思的是,人們按照易的象數思維,這兩大寶藏竟然都和洛書連上了。也許是因為洛書的地位實在太崇高吧,人們總是想儘可能的往洛書裡面多裝點好東西。

有時候,我在想,八卦就是一隻葫蘆,裡面裝著天地間無數的真寶。八卦如此,河圖洛書也是如此,天干地支甲子五行還是如此。這是典型的東方人發展學術的方式,後人為前人註解的時候,這個「注」字生動的表達了又有新的東西注入其中了。這個過程,就是往葫蘆裡裝寶的過程。

(五)算術妙趣

從前,有一位法國人,非常喜歡東方文化,尤其是對中國的洛書河圖八卦有極大的興趣,花了大量的時間學易。非常有趣的是,這位法國人竟然從洛書中領悟了一個有趣的數字排列。

四,九,二
三,五,七
八,一,六

他發現,在洛書中,按照「三→八→一→六→五→四→七→二→九」這樣的順序取數,可以得出一組非常奇妙的數字。依次得出的是一位數到九位數:3,38,381,3816,38165,381654,3816547,38165472,381654729。

請看下面的除法計算。
一位數字:三,3÷1=3;
二位數字:三八,38÷2=19;
三位數字:三八一,381÷3=127;
四位數字:三八一六,3816÷4=954;
五位數字:三八一六五,38165÷5=7633;
六位數字:三八一六五四,381654÷6=63609;
七位數字:三八一六五四七,3816547÷7=545221;
八位數字:三八一六五四七二,38165472÷8=4770684;
九位數字:三八一六五四七二九,381654729÷9=42406081。

他的發現是,在這個順序中,取幾位數,該數就是幾的倍數。需要注意的是,「三→八→一」與「七→二→九」正好在洛書中處於中心對稱的位置。你看,這位法國人的發現確實非常有趣呢!

這樣的一種數字研究,對於古代的中國人來說,是非常陌生的。因為這完全是西方人的傳統,他們受古希臘的影響,重視幾何和素數。

算數,對於古代的中國人來說,就是加減乘除乘方開方,並不關心數之間的分解與合成,也就沒有素數合數這樣的內容了。在二千多年前,中國人並沒有素數的概念,這是當時希臘人的文化。算籌算盤這些算具的發明,意味著古代中國人擅長的是計算。

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