算術漫談:先天八卦與後天八卦

九數

【正見網2009年05月05日】

在前面的短文中,我們談到過八卦。大體上看,有二種形式,當涉及某種構造與八卦相映的時候,用的是先天八卦;當涉及八卦與洛書數字對映的時候,用的是後天八卦。

北宋理學家邵雍在《觀物外篇》中說:「乾坤縱而六子橫,易之本也;震兌橫而六卦縱,易之用也。」一般來說,人們認為邵雍這裡談論的正是八卦的二種不同排列程序,乾坤縱而六子橫指先天八卦,震兌橫而六卦縱指後天八卦。常見的說法是,先天為體,後天為用。

先天八卦
兌乾巽
離◎坎
震坤艮

後天八卦
巽離坤
震◎兌
艮坎乾

這篇短文中,我們認真的探討一下先天八卦和後天八卦的關係問題。

(一)洛書排列

按照楊輝當年的觀點,所謂洛書即為三行三列的縱橫圖。這要求構造一個數字方陣,其每行的和,每列的和,以及二條對角線的和,都恰好一樣。

x1,x2,x3
x4,x5,x6
x7,x8,x9

從方程的角度來看,以x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9為未知數。要求解方程組,這個方程組未知數多,而方程少。實際求解,可以發現解是無窮盡的。

行:x1+x2+x3=k,x4+x5+x6=k,x7+x8+x9=k;
列:x1+x4+x7=k,x2+x5+x8=k,x3+x6+x9=k;
斜:x1+x5+x9=k,x3+x5+x7=k。

四,九,二
三,五,七
八,一,六

很明顯,洛書是符合這個要求的。可是洛書並不是唯一符合要求的。比如,我們將「四九二」與「八一六」對換一下,得出一個新的數陣。這個新的數陣,同樣符合要求。

八,一,六
三,五,七
四,九,二

現在的問題是,如果只用一到九這九個數,那麼有多少個不同的數陣符合要求呢?實際尋找,人們知道了,這樣的方陣可以排列出八個,我們稱為洛書的這個數陣只是這八個數陣中非常幸運的一個。說洛書幸運,乃是因為洛書的妙道傳天下,至簡至易。這是小學一年級時候的算術題呢!

洛書旋機方程組
數字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3

我們見過這組方程很多次了,在前面的短文中,曾經根據洛書轉盤結構領悟出了這樣一組有趣的解。
a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8,
b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8,
c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8,
d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8,
e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8,
f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8,
g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8,
h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8。
其中x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8為參數。

這組解,看上去有點複雜,實際上每個式子只是沿著洛書轉盤走了一圈。行走的方向有正反,出發點選擇在四角,很自然的得出了八個式子。

八個數陣,八個式子,恰好都是八!很自然的,我們想到了八卦,這是一種典型的象數思維。古人將天地萬物裝在八卦這隻寶葫蘆中,我們效法之,考慮八個數陣如何與八卦對映,也考慮八個式子如何與八卦對映。

(二)先天八卦

卦:乾兌離震巽坎艮坤
序:一二三四五六七八

兌乾巽
離◎坎
震坤艮

a,b,c
d,e,f
g,h,i
這是一個三行三列的數陣,第一行為a,b,c;第二行為d,e,f;第三行為g,h,i。為了書寫簡單,我們也記作[a,b,c;d,e,f;g,h,i]。

對於一個三行三列的數字方陣,我們考慮三種最基本的操作變換。
[1]上行與下行的變換
變換A
a,b,c→a,b,c
d,e,f→d,e,f
g,h,i→g,h,i
變換A』
a,b,c→g,h,i
d,e,f→d,e,f
g,h,i→a,b,c

[2]左列與右列的變換
變換B
a,b,c→a,b,c
d,e,f→d,e,f
g,h,i→g,h,i
變換B』
a,b,c→c,b,a
d,e,f→f,e,d
g,h,i→i,h,g

[3]行與列整體的變換
變換C
a,b,c→a,b,c
d,e,f→d,e,f
g,h,i→g,h,i
變換C』
a,b,c→a,d,g
d,e,f→b,e,h
g,h,i→c,f,i

很顯然,[1]中變換A是不變的,變換A』是交換上行與下行的;[2]中變換B是不變的,變換B』是交換左列與右列的;[3]中變換C是不變的,變換C』是行列的整體交換,例如第三行變為第三列。

我們考慮這三種基本變換的合成,可以有這樣八種形式:ABC;ABC』;AB』C;AB』C』;A』BC ;A』BC』;A』B』C;A』B』C』。

舉一個例子,考慮對洛書操作,這裡AB』C』可以理解為下面的三個步驟。
先作變換A,結果為:
四,九,二
三,五,七
八,一,六
接著作變換B』,結果為:
二,九,四
七,五,三
六,一,八
最後作變換C』,結果為:
二,七,六
九,五,一
四,三,八

對於上面給出的八種合成變換,將其作用於洛書,逐個操作,我們得出了八個不同的數陣,這恰好是由一到九這九個數字組成的三行三列縱橫圖的全部結果。

數陣之一:變換ABC
四,九,二
三,五,七
八,一,六

數陣之二:變換ABC』
四,三,八
九,五,一
二,七,六

數陣之三:變換AB』C
二,九,四
七,五,三
六,一,八

數陣之四:變換AB』C』
二,七,六
九,五,一
四,三,八

數陣之五:變換A』BC
八,一,六
三,五,七
四,九,二

數陣之六:變換A』BC』
八,三,四
一,五,九
六,七,二

數陣之七:變換A』B』C
六,一,八
七,五,三
二,九,四

數陣之八:變換A』B』C』
六,七,二
一,五,九
八,三,四

我們考慮這八類數陣與八卦的對映,將變換A,B,C當作0,將變換A』,B』,C』當作1,那麼這些合成變換,都可以化為三位數字。接著,我們按照從前的辦法,將0-1數的形式改寫為卦的形式。最終所得的結果如下。
數陣之一:坤→000→ABC;
數陣之二:艮→001→ABC』;
數陣之三:坎→010→AB』C;
數陣之四:巽→011→AB』C』;
數陣之五:震→100→A』BC;
數陣之六:離→101→A』BC』;
數陣之七:兌→110→A』B』C;
數陣之八:乾→111→A』B』C』。

這個排列是非常自然的,坤卦純陰,什麼也沒有變化;乾卦純陽,作了三次變化。細推敲的話,乾兌,離震,巽坎,艮坤,恰好符合四象模式。

六,一,八,六,七,二,二,七,六
七,兌,三,一,乾,九,九,巽,一
二,九,四,八,三,四,四,三,八
八,三,四,兌,乾,巽,二,九,四
一,離,九,離,◎,坎,七,坎,三
六,七,二,震,坤,艮,六,一,八
八,一,六,四,九,二,四,三,八
三,震,七,三,坤,七,九,艮,一
四,九,二,八,一,六,二,七,六

(三)後天八卦
巽離坤
震◎兌
艮坎乾

我們用數字和來區分八卦,結果有奇數和偶數二種,視奇數者為陽卦,視偶數者為陰卦。
四位陽卦:乾震坎艮
乾,111,1+1+1=3;震,100,1+0+0=1;
坎,010,0+1+0=1;艮,001,0+0+1=1。
四位陰卦:兌離巽坤
兌,110,1+1+0=2;離,101,1+0+1=2;
巽,011,0+1+1=2;坤,000,0+0+0=0。

古人以人物類八卦,非常有趣,很象一個大家庭。
艮,001,為少男;坎,010,為中男;
震,100,為長男;乾,111,為老男;
兌,110,為少女;離,101,為中女;
巽,011,為長女;坤,000,為老女。

轉盤結構
x_1,x_2,x_3
x_8,[轉],x_4
x_7,x_6,x_5

[1]陽卦四陣
數陣之一:坤→000→ABC
四x_1,九x_2,二x_3
三x_8,[轉盤],七x_4
八x_7,一x_6,六x_5
a=4x_1+9x_2+2x_3+7x_4+6x_5+1x_6+8x_7+3x_8

數陣之四:巽→011→AB』C』
二x_1,七x_2,六x_3
九x_8,[轉盤],一x_4
四x_7,三x_6,八x_5
b=2x_1+7x_2+6x_3+1x_4+8x_5+3x_6+4x_7+9x_8

數陣之七:兌→110→A』B』C
六x_1,一x_2,八x_3
七x_8,[轉盤],三x_4
二x_7,九x_6,四x_5
c=6x_1+1x_2+8x_3+3x_4+4x_5+9x_6+2x_7+7x_8

數陣之六:離→101→A』BC』
八x_1,三x_2,四x_3
一x_8,[轉盤],九x_4
六x_7,七x_6,二x_5
d=8x_1+3x_2+4x_3+9x_4+2x_5+7x_6+6x_7+1x_8

[2]陰卦四陣
數陣之二:艮→001→ABC』
四x_1,三x_2,八x_3
九x_8,[轉盤],一x_4
二x_7,七x_6,六x_5
e=4x_1+3x_2+8x_3+1x_4+6x_5+7x_6+2x_7+9x_8

數陣之五:震→100→A』BC
八x_1,一x_2,六x_3
三x_8,[轉盤],七x_4
四x_7,九x_6,二x_5
f=8x_1+1x_2+6x_3+7x_4+2x_5+9x_6+4x_7+3x_8

數陣之八:乾→111→A』B』C』
六x_1,七x_2,二x_3
一x_8,[轉盤],九x_4
八x_7,三x_6,四x_5
g=6x_1+7x_2+2x_3+9x_4+4x_5+3x_6+8x_7+1x_8

數陣之三:坎→010→AB』C
二x_1,九x_2,四x_3
七x_8,[轉盤],三x_4
六x_7,一x_6,八x_5
h=2x_1+9x_2+4x_3+3x_4+8x_5+1x_6+6x_7+7x_8

從前,我們將a,b,c,d,e,f,g,h當作洛書中按照不同線路選取的數字串;如今,我們發現,這八個式子還可以當作不同數陣中按照相同線路選取的數字串。

二,七,六,八,三,四,四,九,二
九,●,一,一,●,九,三,●,七
四,三,八,六,七,二,八,一,六
八,一,六,巽,離,坤,六,一,八
三,○,七,震,◎,兌,七,●,三
四,九,二,艮,坎,乾,二,九,四
四,三,八,二,九,四,六,七,二
九,○,一,七,○,三,一,○,九
二,七,六,六,一,八,八,三,四

從前,我們將洛書旋機方程組視為天地人三才之道的體現;如今,我們發現原來這些等和方程正是左為陽右為陰的八卦平衡。圖中●表示陰卦,○表示陽卦。
巽●+離●+坤●+兌●=乾○+坎○+艮○+震○

細思量,我們發現這個式子除了象徵「洛書旋機方程組」之外,本身也是對的!也就是說,我們有一個二進制算式:011+101+000+110=111+010+001+100=1110。

古人云:窺天地之奧,達造化之極。經由本文,我們得出一個有趣的結果:洛書數陣的八種形式,正是先天八卦的體現;洛書旋機的八種取數,恰是後天八卦的妙用。先天為體,後天為用,就這樣,我們用洛書九數變化出方陣八卦,將先天八卦與後天八卦巧妙的連繫在一起了!

添加新評論