算術漫談:《大衍索隱》與九宮八卦

九數

【正見網2009年05月06日】

如果要用數字構圖表現九宮八卦的話,八九七十二,用一到七十二這七十二個數最合適。我搜尋了古人的著作,看到南宋楊輝有一個構造,大約同時期的丁易東也有一個。

丁易東,南宋武陵人,咸淳四年戊辰(公元1268年)進士。有經學著作《大衍索隱》三卷等,此書中記載了各種各樣的構圖,其中洛書及其衍生計有十一圖。

《大衍索隱》書中,並沒有用楊輝所言「縱橫圖」的說法,完全是自己給出的命名。當然,沒有用「縱橫圖」的名字也不奇怪,本來丁易東寫的就是儒家經學著作嘛,探討的是易。

從算術的角度看,《大衍索隱》最精華的的內容有三則:

其一為「洛書九數乘為八十一圖」,該圖與楊輝的「九九圖」完全一樣,妙在全息構造的方式,由三行三列生成九行九列;

其二為「九宮八卦綜成七十二數合洛書圖」,該圖與楊輝的「連環圖」類似,細推敲可以發現數字排列程序更自然更簡單;

其三為「洛書四十九位得大衍五十數圖」,該圖與楊輝「攢九圖」相近,有獨到的巧妙,可以視為洛書模式與先天八卦互補模式的綜合運用。

04,40,51,09,45,46,02,38,53
15,四,58,10,九,63,17,二,56
22,33,69,27,28,64,20,35,71
03,39,52,05,41,50,07,43,48
16,三,57,14,五,59,12,七,61
21,34,70,23,32,68,25,30,66
08,44,47,01,37,54,06,42,49
11,八,62,18,一,55,13,六,60
26,29,65,19,36,72,24,31,67

這就是丁易東稱作「九宮八卦綜成七十二數合洛書圖」的構造。(為書寫方便,圓環都變為方形了。)從丁易東給出的名字上看,既有九宮的特點,又有八卦的特點。整體上,每宮的布局完全遵循洛書模式;具體到每宮,採用先天八卦互補排列的方式。我們簡單的介紹一下這個數字構造的基本性質。

(一)九宮等和與八卦互補

我們計算一下,可以得出每宮八數之和相等,都是二百九十二。
第四宮04+40+51+58+69+33+22+15=292;
第九宮09+45+46+63+64+28+27+10=292;
第二宮02+38+53+56+71+35+20+17=292;
第三宮03+39+52+57+70+34+21+16=292;
第五宮05+41+50+59+68+32+23+14=292;
第七宮07+43+48+61+66+30+25+12=292;
第八宮08+44+47+62+65+29+26+11=292;
第一宮01+37+54+55+72+36+19+18=292;
第六宮06+42+49+60+67+31+24+13=292。

仔細觀察,我們發現每宮八數的排列方式是一致的。每宮中相對二數,一為奇數,一為偶數,之和都是七十三,恰好陰陽互補。
第四宮04+69=40+33=51+22=58+15=73;
第九宮09+64=45+28=46+27=63+10=73;
第二宮02+71=38+35=53+20=56+17=73;
第三宮03+70=39+34=52+21=57+16=73;
第五宮05+68=41+32=50+23=59+14=73;
第七宮07+66=43+30=48+25=61+12=73;
第八宮08+65=44+29=47+26=62+11=73;
第一宮01+72=37+36=54+19=55+18=73;
第六宮06+67=42+31=49+24=60+13=73。
以上二則是最基本的數字特性,看上去這個構造很簡單很明了,七十二個數字,就這樣非常巧妙的安排在各自的位置上。

(二)洛書方陣與轉盤結構

從前,有一位古人將洛書排列成圓盤的形式,我們的計算表明這實在是一個非常高明的見解。要知道,看上去洛書分明是一個三行三列數字方陣呢。九數以為,方有方的巧,圓有圓的妙。從方和圓不同的角度看待洛書,衍生了無窮巧妙。

為了說明這個構造和和洛書的相似特性,我們考慮將各宮都壓縮成一個數。每宮中,從左上角開始,按照順時針排列八個數,得出一個新數。我們用這個新數來表達各宮的整體性質。

第四宮04→40→51→58→69→33→22→15,
第九宮09→45→46→63→64→28→27→10,
第二宮02→38→53→56→71→35→20→17,
第三宮03→39→52→57→70→34→21→16,
第五宮05→41→50→59→68→32→23→14,
第七宮07→43→48→61→66→30→25→12,
第八宮08→44→47→62→65→29→26→11,
第一宮01→37→54→55→72→36→19→18,
第六宮06→42→49→60→67→31→24→13。

我們計算一個簡單的例子,取洛書中的第一行和第三行。
數字等和4+9+2=8+1+6
0440515869332215+0945466364282710+0238535671352017=1 624 517 904 966 942
0844476265292611+0137545572361918+0642496067312413=1 624 517 904 966 942
平方等和4^2+9^2+2^2=8^2+1^2+6^2
0440515869332215^2+0945466364282710^2+0238535671352017^2
=1 144 860 143 630 840 671 283 571 718 614
0844476265292611^2+0137545572361918^2+0642496067312413^2
=1 144 860 143 630 840 671 283 571 718 614
這裡指出一點,這個結構是轉動的,整體上外圍的八宮環繞中間第五宮在轉,而九宮各自本身也在轉。因此,我們取數可以從任意一個相同的位置開始,而不限於從左上角開始,也不限於順時針排列數字。

轉盤結構是洛書表現為圓圖的存在方式,我們計算最簡單的一個例子。所取的數是將相鄰二宮各自所成的數字並列在一起得出的。
正向取數
四九04405158693322150945466364282710,
二七02385356713520170743486166302512,
六一06424960673124130137545572361918,
八三08444762652926110339525770342116;
反向取數
四三04405158693322150339525770342116,
八一08444762652926110137545572361918,
六七06424960673124130743486166302512,
二九02385356713520170945466364282710。

數字等和
04405158693322150945466364282710+02385356713520170743486166302512+
06424960673124130137545572361918+08444762652926110339525770342116
=21 660 238 732 892 562 166 023 873 289 256
04405158693322150339525770342116+08444762652926110137545572361918+
06424960673124130743486166302512+02385356713520170945466364282710
=21 660 238 732 892 562 166 023 873 289 256
平方等和
04405158693322150945466364282710^2+02385356713520170743486166302512^2+
06424960673124130137545572361918^2+08444762652926110339525770342116^2
=137 689 485 679 534 782 795 613 246 123 358 216 498 071 923 227 535 363 162 450 424
04405158693322150339525770342116^2+08444762652926110137545572361918^2+
06424960673124130743486166302512^2+02385356713520170945466364282710^2
=137 689 485 679 534 782 795 613 246 123 358 216 498 071 923 227 535 363 162 450 424
立方等和
04405158693322150945466364282710^3+02385356713520170743486166302512^3+
06424960673124130137545572361918^3+08444762652926110339525770342116^3
=966 509 559 580 462 105 301 429 943 313 559 759 537 447 390 004 114 728 448 518 991 453 471 347 585 826 463 094 340 322 256
04405158693322150339525770342116^3+08444762652926110137545572361918^3+
06424960673124130743486166302512^3+02385356713520170945466364282710^3
=966 509 559 580 462 105 301 429 943 313 559 759 537 447 390 004 114 728 448 518 991 453 471 347 585 826 463 094 340 322 256

從實質上看,這個構造最有趣的一點是,每宮的八個數可以串在一起,當作一個數。例如第四宮,可以寫作04a+40b+51c+58d+69e+33f+22g+15h,我們上面的計算,只相當於a=100^7,b=100^6,c=100^5,d=100^4,e=100^3,f=100^2,g=100,h=1。

按照今天人的觀點,洛書是組合構造的一個最古老的例子。然而我們看到,在中國古代,南宋以前的主流算學著作並不研究洛書,例如《九章算術》中就不涉及這樣的內容。

安徽出土的西漢「太一九宮占盤」,以實物論證了洛書在古代的主流研究形式是術數。本文所介紹的九宮八卦圖,是丁易東在《大衍索隱》中構造的,這本書並非算學著作。古人認為易為群經之首,對易的探討自然屬於經學範疇。

由此,我們得出一個基本的看法,古代中國人在組合構造方面的智慧主要集中在易學和術數。我相信隨著研究的逐步深入,古人留下的著作中,一定能夠挖掘出被塵封的寶藏。

添加新評論