算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續九)

九數


【正見網2015年11月12日】

南宋算學家楊輝,過去多次出現在我們的漫談中。他是世界上第一個把洛書九宮圖作為算學研究對像的人,由此發展出縱橫圖的學問。直到今天,在中國乃至世界上,仍然有許多喜愛縱橫圖的人們。

這篇短文中,九數給大家揭示一個沉潛七百年的奧秘。當年楊輝留下的“易數圖”,在《周易》卦序置換的作用下,變化為一個奇異黃金方陣。

需要指出的是,將縱橫圖與《周易》卦序結合起來,這是大陸研究者十幾年來一直在嘗試的方向。非常幸運的是,我們終於取得了突破。九數相信,這些同道人一定會在正見網上找到他們所需要的。

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。

上經:乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,坎卦第二十九,離卦第三十。

下經:咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)邵雍方圖
北宋理學家邵雍,有先天六十四卦方圖傳世。
坤卦01,剝卦02,比卦03,觀卦04,豫卦05,晉卦06,萃卦07,否卦08;
謙卦09,艮卦10,蹇卦11,漸卦12,小過13,旅卦14,咸卦15,遯卦16;
師卦17,蒙卦18,坎卦19,渙卦20,解卦21,未濟22,困卦23,訟卦24;
升卦25,蠱卦26,井卦27,巽卦28,恆卦29,鼎卦30,大過31,姤卦32;
復卦33,頤卦34,屯卦35,益卦36,震卦37,噬嗑38,隨卦39,無妄40;
明夷41,賁卦42,既濟43,家人44,豐卦45,離卦46,革卦47,同人48;
臨卦49,損卦50,節卦51,中孚52,歸妹53,睽卦54,兌卦55,履卦56;
泰卦57,大畜58,需卦59,小畜60,大壯61,大有62,夬卦63,乾卦64。

(三)楊輝易數
(1)易數陽圖
楊輝留下的縱橫圖中,有兩幅名為易數圖,其中一個叫陽圖,一個叫陰圖。我們這裡記錄的是陽圖。

61,04,03,62,02,63,64,01;
52,13,14,51,15,50,49,16;
45,20,19,46,18,47,48,17;
36,29,30,35,31,34,33,32;
05,60,59,06,58,07,08,57;
12,53,54,11,55,10,09,56;
21,44,43,22,42,23,24,41;
28,37,38,27,39,26,25,40。

(2)三線等和
與洛書相似,這個八行八列的方陣,具有縱、橫、斜三線等和的特性。每行八個數的和是260,每列八個數的和是260,對角線上八個數和也是260。
[1]橫向計算
第一行,和為61+04+03+62+02+63+64+01=260。
第二行,和為52+13+14+51+15+50+49+16=260。
第三行,和為45+20+19+46+18+47+48+17=260。
第四行,和為36+29+30+35+31+34+33+32=260。
第五行,和為05+60+59+06+58+07+08+57=260。
第六行,和為12+53+54+11+55+10+09+56=260。
第七行,和為21+44+43+22+42+23+24+41=260。
第八行,和為28+37+38+27+39+26+25+40=260。

[2]縱向計算
第一列,和為61+52+45+36+05+12+21+28=260。
第二列,和為04+13+20+29+60+53+44+37=260。
第三列,和為03+14+19+30+59+54+43+38=260。
第四列,和為62+51+46+35+06+11+22+27=260。
第五列,和為02+15+18+31+58+55+42+39=260。
第六列,和為63+50+47+34+07+10+23+26=260。
第七列,和為64+49+48+33+08+09+24+25=260。
第八列,和為01+16+17+32+57+56+41+40=260。

[3]斜向計算
主對角線,和為61+13+19+35+58+10+24+40=260。
副對角線,和為01+49+47+31+06+54+44+28=260。

有興趣了解南宋算學家楊輝的朋友,可以查閱大陸出版的《中國數學史大系》。

(四)卦象方陣
我們將楊輝易數圖中的數字,按照邵雍方圖,置換為卦象,得到一個八行八列的卦象方陣。
大壯,觀卦,比卦,大有,剝卦,夬卦,乾卦,坤卦;
中孚,小過,旅卦,節卦,咸卦,損卦,臨卦,遯卦;
豐卦,渙卦,坎卦,離卦,蒙卦,革卦,同人,師卦;
益卦,恆卦,鼎卦,屯卦,大過,頤卦,復卦,姤卦;
豫卦,小畜,需卦,晉卦,大畜,萃卦,否卦,泰卦;
漸卦,歸妹,睽卦,蹇卦,兌卦,艮卦,謙卦,履卦;
解卦,家人,既濟,未濟,賁卦,困卦,訟卦,明夷;
巽卦,震卦,噬嗑,井卦,隨卦,蠱卦,升卦,無妄。

(五)序數方陣
有了卦象方陣,我們將《周易》卦序數字抄寫在卦名旁邊,得到一個八行八列的序數方陣。
大壯34,觀卦20,比卦08,大有14,剝卦23,夬卦43,乾卦01,坤卦02;
中孚61,小過62,旅卦56,節卦60,咸卦31,損卦41,臨卦19,遯卦33;
豐卦55,渙卦59,坎卦29,離卦30,蒙卦04,革卦49,同人13,師卦07;
益卦42,恆卦32,鼎卦50,屯卦03,大過28,頤卦27,復卦24,姤卦44;
豫卦16,小畜09,需卦05,晉卦35,大畜26,萃卦45,否卦12,泰卦11;
漸卦53,歸妹54,睽卦38,蹇卦39,兌卦58,艮卦52,謙卦15,履卦10;
解卦40,家人37,既濟63,未濟64,賁卦22,困卦47,訟卦06,明夷36;
巽卦57,震卦51,噬嗑21,井卦48,隨卦17,蠱卦18,升卦46,無妄25。

(六)行列求和
有了序數方陣,我們開始計算。
(1)橫向計算
第一行,和為34+20+08+14+23+43+01+02=145。
第二行,和為61+62+56+60+31+41+19+33=363。
第三行,和為55+59+29+30+04+49+13+07=246。
第四行,和為42+32+50+03+28+27+24+44=250。
第五行,和為16+09+05+35+26+45+12+11=159。
第六行,和為53+54+38+39+58+52+15+10=319。
第七行,和為40+37+63+64+22+47+06+36=315。
第八行,和為57+51+21+48+17+18+46+25=283。
總和為145+363+246+250+159+319+315+283=2080。

(2)縱向計算
第一列,和為34+61+55+42+16+53+40+57=358。
第二列,和為20+62+59+32+09+54+37+51=324。
第三列,和為08+56+29+50+05+38+63+21=270。
第四列,和為14+60+30+03+35+39+64+48=293。
第五列,和為23+31+04+28+26+58+22+17=209。
第六列,和為43+41+49+27+45+52+47+18=322。
第七列,和為01+19+13+24+12+15+06+46=136。
第八列,和為02+33+07+44+11+10+36+25=168。
總和為358+324+270+293+209+322+136+168=2080。

(七)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第一行+第二行+第三行+第四行+第八行=1287,總和=2080,
解出Ω=1287÷2080=0.6187……

②第五行+第六行+第七行=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第五行+第六行+第七行=793,總和=2080,
Ω×Ω=793÷2080=0.3812……
然後開平方,解出Ω=0.6174……

③第一行+第五行=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:第一行+第五行=304,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080=0.1461……
然後開四次方,解出Ω=0.6183……

(2)列的結構
①第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:第二列+第四列+第五列+第六列+第七列=1284,總和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

②第一列+第三列+第八列=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:第一列+第三列+第八列=796,總和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然後開平方,解出Ω=0.6186……

③第二列+第八列=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:第二列+第八列=492,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=492÷2080=0.2365……
然後開立方,解出Ω= 0.6184……

④第七列+第八列=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:第七列+第八列=304,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=304÷2080= 0.1461……
然後開四次方,解出Ω= 0.6183……

依照“續三”中的術語,我們由楊輝易數圖變化出的卦象序數方陣,是一個奇異黃金方陣。

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