【正見網2002年03月21日】
數學作為現代科學的基礎，一直被人類視為「最完美的科學」、「現代科學的無冕之王」，推崇倍至。然而，許多人不知道數學史上曾發生過「三次危機」，而第三次危機至今也沒有得到最終的解決。這一事實本身就證明了現代科學的局限性。
數學史上的第一次危機發生在公元前580～568年之間的古希臘，數學家畢達哥拉斯建立了畢達哥拉斯學派。該學派的成員希伯索斯根據勾股定理（西方稱為畢達哥拉斯定理）通過邏輯推理髮現，邊長為l的正方形的對角線長度既不是整數，也不是整數的比所能表示。希伯索斯的發現被認為是「荒謬」和違反常識的事。嚴重地衝擊了當時希臘人的傳統見解。使當時希臘數學家們深感不安，相傳希伯索斯因這一發現被投入海中淹死，這就是第一次數學危機。這場危機通過在幾何學中引進不可通約量概念而得到解決。兩個幾何線段，如果存在一個第三線段能同時量盡它們，就稱這兩個線段是可通約的，否則稱為不可通約的。正方形的一邊與對角線，就不存在能同時量盡它們的第三線段，因此它們是不可通約的。很顯然，只要承認不可通約量的存在使幾何量不再受整數的限制，所謂的數學危機也就不復存在了。不可通約量的研究開始於公元前4世紀的歐多克斯，其成果被歐幾裡得所吸收，部份被收人他的《幾何原本》中。
第二次數學危機發生在十七世紀。十七世紀微積分誕生後，由於推敲微積分的理論基礎問題，數學界出現混亂局面，即第二次數學危機。微積分的形成給數學界帶來革命性變化，在各個科學領域得到廣泛應用，但微積分在理論上存在矛盾的地方。無窮小量是微積分的基礎概念之一。微積分的主要創始人牛頓在一些典型的推導過程中，第一步用了無窮小量作分母進行除法，當然無窮小量不能為零；第二步牛頓又把無窮小量看作零，去掉那些包含它的項，從而得到所要的公式，在力學和幾何學的應用證明了這些公式是正確的，但它的數學推導過程卻在邏輯上自相矛盾。焦點是：無窮小量是零還是非零？如果是零，怎麼能用它做除數？如果不是零，又怎麼能把包含著無窮小量的那些項去掉呢？直到19世紀，柯西詳細而有系統地發展了極限理論。柯西認為把無窮小量作為確定的量，即使是零，都說不過去，它會與極限的定義發生矛盾。無窮小量應該是要怎樣小就怎樣小的量，因此本質上它是變量，而且是以零為極限的量，至此柯西澄清了前人的無窮小的概念，第二次數學危機被視為基本解決。
第三次數學危機，發生在十九世紀末。當時英國數學家羅素把集合分成兩種。第一種集合：集合本身不是它的元素，即AA；第二種集合：集合本身是它的一個元素A∈A，例如一切集合所組成的集合。那麼對於任何一個集合B，不是第一種集合就是第二種集合。假設第一種集合的全體構成一個集合M，那麼M屬於第一種集合還是屬於第二種集合。如果M屬於第一種集合，那麼M應該是M的一個元素，即M∈M，但是滿足M∈M關係的集合應屬於第二種集合，出現矛盾。如果M屬於第二種集合，那麼M應該是滿足M∈M的關係，這樣M又是屬於第一種集合矛盾。
以上推理過程所形成的悖論叫羅素悖論。由於嚴格的極限理論的建立，數學上的第一次第二次危機已經解決，但極限理論是以實數理論為基礎的，而實數理論又是以集合論為基礎的，現在集合論又出現了羅素悖論，因而形成了數學史上更大的危機。從此，數學家們就開始為這場危機尋找解決的辦法，其中之一是把集合論建立在一組公理之上，以迴避悖論。首先進行這個工作的是德國數學家策梅羅，他提出七條公理，建立了一種不會產生悖論的集合論，又經過德國的另一位數學家弗芝克爾的改進，形成了一個所謂無矛盾的集合論公理系統。即所謂ZF公理系統。在 ZF 裡面區分了類聚(class)和集合(set)。類聚是大到不能含於其它集合或類聚的集合，集合是較多限制的類聚。根據 Neumann 的說法，集合不容許引起矛盾，但可以當做其它類聚的元素。
ZF 的公理系統已能把集合論拓展到符合古典分析的應用，也能防止悖論的出現，至少迄今無人在這套理論中發現悖論。但這套公設化集合論的一致性從未完全被證明過。關於此點，Poincare 有一段貼切的比喻：「我們已用圍牆把一群羊圍住，以防止野狼的入侵。但我們不知這圍牆內是否早已有野狼的存在。」
所謂一致性，也可稱為相容性，協調性或非矛盾性，即指一公理體系內的各個公設之間在有限的邏輯推理下不會導致矛盾。很顯然的，如果一個系統內的公設是相互矛盾的，那麼這個公理系統將無任何價值可言。當數學被視為是自然的真理時，互相矛盾的定理是不可能發生的。因此一致性也就成了無稽之談。但自從非歐幾何興起後，它與實體感覺格格不入，而引起一致性的問題。至1800年代，人們逐漸意識到算術和歐氏幾何並非真理，這使得研究它們的一致性變成十分重要的事。Hilbert 曾在假設算術公設是一致的情況下，成功地建立了幾何的一致性。這是所謂的相對性證明。他在 1900年的巴黎演說中提出著名的二十三個數學問題，其中集合論的連續統假設和算術的一致性分列第一，二個。Hilbert 強調這是數學基礎中十分重要的問題。他還樂觀地認為，必能在有限的邏輯步驟下，證明算術系統的絕對一致性。Pringsheim 也說過：「數學所探尋的真理就是一致性。」
除了一致性的問題之外，為了證明良序原理，Zermelo 在集合論中引入了選擇公理(axiom of choice, AC)。許多數學家認為這個公理是有瑕疵的。選擇公理的大意是說在一由任意多集合所組成的集合族中，必可從其每一集合中挑選一元素組成一集合。如果這集合族是有限的，那麼這樣的挑選是顯然的。但在一無限大的集合族中進行這樣挑選的可行性就倍受質疑。這個公理的必要性和獨立性在一段相當長的時間裡懸而未解。
Godel 於1937年證明了Zermelo 集合論導不出Hilbert 第一問題「連續統假設」不成立。奇怪的是，Cohen在1963年卻證明了Zermelo 集合論導不出「連續統假設」是成立的。由於連續統假設是現代數學中最根本，最基礎的問題，他們的結果令數學家們感到很驚異。所以說用現代數學的基礎是不可能窮盡所有的規律的。要真正認識宇宙的理，就超出現代數學這種工具所能探知的範圍了。
事實證明，只有跳出現有科學的局限，站在更高的境界，才能看到正真的理。「現代人類的知識，所能了解的只是極淺的一點點而已，離真正認識宇宙的真象，相差甚遠。」（《轉法輪》「論語」）
在數學產生危機之時，數學家就試圖通過建立無需證明的公理體系化解矛盾。於是，問題轉化成了證明公理體系的一致性。如果滿足一致性就可以將公理本身看作為絕對的真理了。但是，事實上公理體系的一致性本身並沒有得到最終的證明，而且這種做法還忽視了公理本身的局限性。現代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個數學是血肉相連的。所以，第三次危機實質上更深刻地以其它形式延續著。《轉法輪》中提到的釋迦牟尼佛的三千大千世界學說：其大無外，其小無內（《轉法輪》）。就拿選擇公理來說，我們知道，從某種程度講，任意多集合根本就無法窮盡，所以從中窮盡挑選的可能性為零。
另外，「因為不同層次存在著不同的理」（《轉法輪（卷二）》），當不同的公理存在適用範圍的差異時，他們當然不存在完全的一致性，但是，在他們共同成立的範圍內，一致性又是成立的。所以，數學的基礎──公理化體系本身並不嚴格。歸根到底，數學只是一種邏輯，其合理性有很多局限性，並不是絕對真理。
數學是現代科學的奠基石，但是，它最基本的公理化體系卻存在著巨大的局限性。那麼建立於其上的實證科學本身的局限性就更顯突出了。
事實上，「如果人類能重新認識一下自己和宇宙，改變一下僵化了的觀念，人類就會有一個飛躍。『佛法』可以為人類洞徹無量無際的世界。千古以來能夠把人類、物質存在的各個空間、生命及整個宇宙圓滿說清的唯有『佛法』。」（《轉法輪》「論語」）
