算術漫談:從《道德經》到黃金分割(十)

九數


【正見網2019年06月12日】

承接前文,我們繼續演算。

前文(九)中,我們說過,某乙找到了九數。

某乙向九數提出了一個問題:你能不能走入具體的事呢?

這個話的意思,是什麼呢?通俗的說,就是你能夠找到黃金分割點,這已經很好了;如果你能夠找到黃金,那就更好了!

某乙認為,九數應該對自己有新的要求。

(一)基本數據
【一一】通行本老子《道德經》,第01章,正文總計59個漢字;
【一二】通行本老子《道德經》,第02章,正文總計88個漢字;
【一三】通行本老子《道德經》,第03章,正文總計67個漢字;
【一四】通行本老子《道德經》,第04章,正文總計42個漢字;
【一五】通行本老子《道德經》,第05章,正文總計45個漢字;
【一六】通行本老子《道德經》,第06章,正文總計25個漢字;
【一七】通行本老子《道德經》,第07章,正文總計49個漢字;
【一八】通行本老子《道德經》,第08章,正文總計50個漢字;
【一九】通行本老子《道德經》,第09章,正文總計39個漢字;
【二一】通行本老子《道德經》,第10章,正文總計69個漢字;
【二二】通行本老子《道德經》,第11章,正文總計49個漢字;
【二三】通行本老子《道德經》,第12章,正文總計49個漢字;
【二四】通行本老子《道德經》,第13章,正文總計81個漢字;
【二五】通行本老子《道德經》,第14章,正文總計94個漢字;
【二六】通行本老子《道德經》,第15章,正文總計97個漢字;
【二七】通行本老子《道德經》,第16章,正文總計67個漢字;
【二八】通行本老子《道德經》,第17章,正文總計44個漢字;
【二九】通行本老子《道德經》,第18章,正文總計26個漢字;
【三一】通行本老子《道德經》,第19章,正文總計45個漢字;
【三二】通行本老子《道德經》,第20章,正文總計132個漢字;
【三三】通行本老子《道德經》,第21章,正文總計71個漢字;
【三四】通行本老子《道德經》,第22章,正文總計78個漢字;
【三五】通行本老子《道德經》,第23章,正文總計88個漢字;
【三六】通行本老子《道德經》,第24章,正文總計47個漢字;
【三七】通行本老子《道德經》,第25章,正文總計85個漢字;
【三八】通行本老子《道德經》,第26章,正文總計47個漢字;
【三九】通行本老子《道德經》,第27章,正文總計91個漢字;
【四一】通行本老子《道德經》,第28章,正文總計86個漢字;
【四二】通行本老子《道德經》,第29章,正文總計58個漢字;
【四三】通行本老子《道德經》,第30章,正文總計75個漢字;
【四四】通行本老子《道德經》,第31章,正文總計117個漢字;
【四五】通行本老子《道德經》,第32章,正文總計71個漢字;
【四六】通行本老子《道德經》,第33章,正文總計38個漢字;
【四七】通行本老子《道德經》,第34章,正文總計61個漢字;
【四八】通行本老子《道德經》,第35章,正文總計43個漢字;
【四九】通行本老子《道德經》,第36章,正文總計56個漢字;
【五一】通行本老子《道德經》,第37章,正文總計50個漢字;
【五二】通行本老子《道德經》,第38章,正文總計129個漢字;
【五三】通行本老子《道德經》,第39章,正文總計134個漢字;
【五四】通行本老子《道德經》,第40章,正文總計21個漢字;
【五五】通行本老子《道德經》,第41章,正文總計95個漢字;
【五六】通行本老子《道德經》,第42章,正文總計73個漢字;
【五七】通行本老子《道德經》,第43章,正文總計39個漢字;
【五八】通行本老子《道德經》,第44章,正文總計39個漢字;
【五九】通行本老子《道德經》,第45章,正文總計40個漢字;
【六一】通行本老子《道德經》,第46章,正文總計39個漢字;
【六二】通行本老子《道德經》,第47章,正文總計36個漢字;
【六三】通行本老子《道德經》,第48章,正文總計40個漢字;
【六四】通行本老子《道德經》,第49章,正文總計64個漢字;
【六五】通行本老子《道德經》,第50章,正文總計80個漢字;
【六六】通行本老子《道德經》,第51章,正文總計72個漢字;
【六七】通行本老子《道德經》,第52章,正文總計72個漢字;
【六八】通行本老子《道德經》,第53章,正文總計52個漢字;
【六九】通行本老子《道德經》,第54章,正文總計91個漢字;
【七一】通行本老子《道德經》,第55章,正文總計81個漢字;
【七二】通行本老子《道德經》,第56章,正文總計66個漢字;
【七三】通行本老子《道德經》,第57章,正文總計88個漢字;
【七四】通行本老子《道德經》,第58章,正文總計70個漢字;
【七五】通行本老子《道德經》,第59章,正文總計64個漢字;
【七六】通行本老子《道德經》,第60章,正文總計48個漢字;
【七七】通行本老子《道德經》,第61章,正文總計82個漢字;
【七八】通行本老子《道德經》,第62章,正文總計80個漢字;
【七九】通行本老子《道德經》,第63章,正文總計79個漢字;
【八一】通行本老子《道德經》,第64章,正文總計125個漢字;
【八二】通行本老子《道德經》,第65章,正文總計69個漢字;
【八三】通行本老子《道德經》,第66章,正文總計76個漢字;
【八四】通行本老子《道德經》,第67章,正文總計99個漢字;
【八五】通行本老子《道德經》,第68章,正文總計43個漢字;
【八六】通行本老子《道德經》,第69章,正文總計54個漢字;
【八七】通行本老子《道德經》,第70章,正文總計47個漢字;
【八八】通行本老子《道德經》,第71章,正文總計28個漢字;
【八九】通行本老子《道德經》,第72章,正文總計45個漢字;
【九一】通行本老子《道德經》,第73章,正文總計64個漢字;
【九二】通行本老子《道德經》,第74章,正文總計59個漢字;
【九三】通行本老子《道德經》,第75章,正文總計53個漢字;
【九四】通行本老子《道德經》,第76章,正文總計57個漢字;
【九五】通行本老子《道德經》,第77章,正文總計79個漢字;
【九六】通行本老子《道德經》,第78章,正文總計64個漢字;
【九七】通行本老子《道德經》,第79章,正文總計40個漢字;
【九八】通行本老子《道德經》,第80章,正文總計75個漢字;
【九九】通行本老子《道德經》,第81章,正文總計57個漢字。

我們抄錄的老子《道德經》通行本,九九八十一章,各章正文總計5287個漢字。

(二)層累方陣
這篇短文中,我們考慮一種遞歸構造式的層累方陣。

也就是說,我們是逐步擴大方陣的規模,同時保證,在每個階段得到的都是正方形數陣。具體來說,就是從1個數開始,擴大到4個數,再擴大到9個數,……,又擴大到64個數,最後擴大到81個數。

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我們將{01,02,03,……,79,80,81}劃分為九組,分組方式如下表所列。
第一組,{01},只有一個數;
第二組,{02,03,04},包括三個數;
第三組,{05,06,07,……,09},包括五個數;
第四組,{10,11,12,……,16},包括七個數;
第五組,{17,18,19,……,25},包括九個數;
第六組,{26,27,28,……,36},包括十一個數;
第七組,{37,38,39,……,49},包括十三個數;
第八組,{50,51,52,……,64},包括十五個數;
第九組,{65,66,67,……,81},包括十七個數。

1+3+5+7+9+11+13+15+17=81

每次加入新的數據,都從右上角開始,到右下角轉折,最後到左下角結束。
最終,我們得到如下形式的層累方陣。
01,02,05,10,17,26,37,50,65
04,03,06,11,18,27,38,51,66
09,08,07,12,19,28,39,52,67
16,15,14,13,20,29,40,53,68
25,24,23,22,21,30,41,54,69
36,35,34,33,32,31,42,55,70
49,48,47,46,45,44,43,56,71
64,63,62,61,60,59,58,57,72
81,80,79,78,77,76,75,74,73

(三)章節排列
第01章,第02章,第05章,第10章,第17章,第26章,第37章,第50章,第65章
第04章,第03章,第06章,第11章,第18章,第27章,第38章,第51章,第66章
第09章,第08章,第07章,第12章,第19章,第28章,第39章,第52章,第67章
第16章,第15章,第14章,第13章,第20章,第29章,第40章,第53章,第68章
第25章,第24章,第23章,第22章,第21章,第30章,第41章,第54章,第69章
第36章,第35章,第34章,第33章,第32章,第31章,第42章,第55章,第70章
第49章,第48章,第47章,第46章,第45章,第44章,第43章,第56章,第71章
第64章,第63章,第62章,第61章,第60章,第59章,第58章,第57章,第72章
第81章,第80章,第79章,第78章,第77章,第76章,第75章,第74章,第73章

(四)字數方陣
059,088,045,069,044,047,050,080,069
042,067,025,049,026,091,129,072,076
039,050,049,049,045,086,134,072,099
067,097,094,081,132,058,021,052,043
085,047,088,078,071,075,095,091,054
056,043,061,038,071,117,073,081,047
064,040,036,039,040,039,039,066,028
125,079,080,082,048,064,070,088,045
057,075,040,064,079,057,053,059,064

(五)縱橫求和
(1)列和計算
第一列,和為059+042+039+067+085+056+064+125+057=594;
第二列,和為088+067+050+097+047+043+040+079+075=586;
第三列,和為045+025+049+094+088+061+036+080+040=518;
第四列,和為069+049+049+081+078+038+039+082+064=549;
第五列,和為044+026+045+132+071+071+040+048+079=556;
第六列,和為047+091+086+058+075+117+039+064+057=634;
第七列,和為050+129+134+021+095+073+039+070+053=664;
第八列,和為080+072+072+052+091+081+066+088+059=661;
第九列,和為069+076+099+043+054+047+028+045+064=525。
總和為594+586+518+549+556+634+664+661+525=5287。

(2)行和計算
第一行,和為059+088+045+069+044+047+050+080+069=551;
第二行,和為042+067+025+049+026+091+129+072+076=577;
第三行,和為039+050+049+049+045+086+134+072+099=623;
第四行,和為067+097+094+081+132+058+021+052+043=645;
第五行,和為085+047+088+078+071+075+095+091+054=684;
第六行,和為056+043+061+038+071+117+073+081+047=587;
第七行,和為064+040+036+039+040+039+039+066+028=391;
第八行,和為125+079+080+082+048+064+070+088+045=681;
第九行,和為057+075+040+064+079+057+053+059+064=548。
總和為551+577+623+645+684+587+391+681+548=5287。

(六)黃金分割
我們用Ω表示黃金比率,先建立部分與總體之間的關係式,然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此,誤差一般在千分之一以內。

(1)行的結構
①第一行+第二行+第五行+第八行=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:第一行+第二行+第五行+第八行
=551+577+684+681=2493,總和=5287,
Ω×Ω×Ω=2493÷2÷5287=0.2357……
然後開立方,解出Ω=0.6177……

②第三行+第四行+第六行+第七行+第九行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第三行+第四行+第六行+第七行+第九行
=623+645+587+391+548=2794,總和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2794÷5287=0.5284……
這是一個四次方程,解出Ω=0.6183……

③第二行+第四行+第五行+第六行=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:第二行+第四行+第五行+第六行
=577+645+684+587=2493,總和=5287,
Ω×Ω×Ω=2493÷2÷5287=0.2357……
然後開立方,解出Ω=0.6177……

④第一行+第三行+第七行+第八行+第九行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:第一行+第三行+第七行+第八行+第九行
=551+623+391+681+548=2794,總和=5287,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=2794÷5287=0.5284……
這是一個四次方程,解出Ω=0.6183……

(2)列的結構
①第一列+第三列+第四列+第五列+第六列+第七列+第九列=總和×Ω×Ω×2,第二層次黃金分割
驗算:第一列+第三列+第四列+第五列+第六列+第七列+第九列
=594+518+549+556+634+664+525=4040,總和=5287,
Ω×Ω=4040÷2÷5287=0.3820……
然後開平方,解出Ω=0.6181……

②第二列+第八列=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:第二列+第八列=586+661=1247,總和=5287,
Ω×Ω×Ω=1247÷5287=0.2358……
然後開立方,解出Ω=0.6178……

總體而言,行與列,包含有如下兩種不同的模式。
總和
=總和×Ω×Ω×2+總和×Ω×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω×Ω×2+(總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω)
依照前面短文中的術語,這是一個標準黃金方陣。

 

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