算術漫談:六十甲子與五行納音

五行學說,這是古代中國人的天體文化觀念。在音樂領域運用五行學說,得到的結果就是宮商角徵羽五音理論。

《黃帝內經》中把「宮商角徵羽」五音,與五藏相配:脾應宮,其聲漫而緩;肺應商,其聲促以清;肝應角,其聲呼以長;心應徵,其聲雄以明;腎應羽,其聲沉以細,此為五藏正音。
宮→do→土→脾→信
商→re→金→肺→義
角→mi→木→肝→仁
徵→sol→火→心→禮
羽→la→水→腎→智

《禮記・樂記》曰:聲音之道,與政通矣。宮為君,商為臣,角為民,徵為事,羽為物。五者不亂,則無怙 粗?粢印9?以蚧模?渚?荊簧搪以蜈椋?涔倩擔喚鍬以蠐牽?涿裨梗會緶以虯В?涫慮冢揮鷳以蛭#?洳曝選N逭囈月遙??嗔輳?街???緔嗽蜆??鶩鑫奕找印?p>古人的這套五音理論很有特點,貫穿着天地人三才之道。對於個體生命來說,五音的震動,引起五藏的變化;五藏的變化,表現出行為上的變化。如此觀之,正音可以正德,道理很深。

古人將六十甲子與五音理論對映起來,建立了納音學說。也就是每一組干支有一個整體的五行五音屬性。

歌訣

甲子乙丑海中金,丙寅丁卯爐中火,戊辰己巳大林木,庚午辛未路旁土,
壬申癸酉劍鋒金,甲戌乙亥山頭火,丙子丁丑澗下水,戊寅己卯城頭土,
庚辰辛巳白蠟金,壬午癸未楊柳木,甲申乙酉井泉水,丙戌丁亥屋上土,
戊子己丑霹靂火,庚寅辛卯松柏木,壬辰癸巳長流水,甲午乙未沙中金,
丙申丁酉山下火,戊戌己亥平地水,庚子辛丑壁上土,壬寅癸卯金箔金,
甲辰乙巳覆燈火,丙午丁未天河水,戊申己酉大驛土,庚戌辛亥釵釧金,
壬子癸丑桑柘木,甲寅乙卯大溪水,丙辰丁巳沙中土,戊午己未天上火,
庚申辛酉石榴木,壬戌癸亥大海水。

我們搜尋前人的著作,可以發現這個「六十甲子五行納音歌訣」,在不同的著作中對個別干支組合的定性用詞略有差別,但是五行屬性的敘述是一致的。

沈括(西元1031年―1095年),北宋杭州人。在他的著作《夢溪筆談・樂律》中,引述古人「同類娶妻,隔八生子」的理論,作了細緻的論述。原文較長,對今天的人來說恍如隔世,我們這裡擇錄其中的幾句。

「六十甲子有納音,今人鮮知其原意。蓋六十律旋相為宮法也。一律含五音,十二律納六十音。納音之法,同類娶妻,隔八生子,此《漢志》 語也。

此律呂相生之法也。甲子金之仲,黃鐘之商。同位娶乙丑,大呂之商。
隔八下生壬申,金之孟,夷則之商。壬申同位娶癸酉,南呂之商。隔八上生庚辰,金之季,姑洗之商。」

朱載^鄭ㄎ髟?536年―1611年),明代的律歷家,創建了十二平均律。在《律呂精義・內篇》卷一中,他對十二平均律做了描述:「蓋十二律黃鐘為始,應鐘為終,終而復始,循環無端。」他在《律歷融通》稱:「若夫海中金爐中火之類,斯乃術士俚語編成歌括,便於記誦耳,原無別義,不必強解也。」

本文中,我們將納音歌訣本身作為出發點,回溯出納音理論的數理結構――納音蘊涵著一個四元函數。(朱載^炙?再滌鐧奈侍猓?熱綞浴奧?謝稹庇搿吧酵坊稹鋇那?穡?寫?蠢唇?⒏??艿氖?坷礪邸#?p>(一)甲子納音
我們依據六十甲子納音規則,排列基本數據。排列順序為:干支→序號→音。
例子:乙丑→02→金。這表示「乙丑」在六十甲子序列中,序號為「02」;「乙丑」之五行納音為「金」。
甲子→01→金,乙丑→02→金,丙寅→03→火,丁卯→04→火,
戊辰→05→木,己巳→06→木,庚午→07→土,辛未→08→土,
壬申→09→金,癸酉→10→金,甲戌→11→火,乙亥→12→火,
丙子→13→水,丁丑→14→水,戊寅→15→土,己卯→16→土,
庚辰→17→金,辛巳→18→金,壬午→19→木,癸未→20→木,
甲申→21→水,乙酉→22→水,丙戌→23→土,丁亥→24→土,
戊子→25→火,己丑→26→火,庚寅→27→木,辛卯→28→木,
壬辰→29→水,癸巳→30→水,甲午→31→金,乙未→32→金,
丙申→33→火,丁酉→34→火,戊戌→35→木,己亥→36→木,
庚子→37→土,辛丑→38→土,壬寅→39→金,癸卯→40→金,
甲辰→41→火,乙巳→42→火,丙午→43→水,丁未→44→水,
戊申→45→土,己酉→46→土,庚戌→47→金,辛亥→48→金,
壬子→49→木,癸丑→50→木,甲寅→51→水,乙卯→52→水,
丙辰→53→土,丁巳→54→土,戊午→55→火,己未→56→火,
庚申→57→木,辛酉→58→木,壬戌→59→水,癸亥→60→水。

(二)五音歸類
我們將這些基本數據,依據五行歸類,按照金火木土水的自然順序排列。
第一類:納音為金
甲子→01→金,乙丑→02→金,壬申→09→金,癸酉→10→金,
庚辰→17→金,辛巳→18→金,甲午→31→金,乙未→32→金,
壬寅→39→金,癸卯→40→金,庚戌→47→金,辛亥→48→金。
第二類:納音為火
丙寅→03→火,丁卯→04→火,甲戌→11→火,乙亥→12→火,
戊子→25→火,己丑→26→火,丙申→33→火,丁酉→34→火,
甲辰→41→火,乙巳→42→火,戊午→55→火,己未→56→火。
第三類:納音為木
戊辰→05→木,己巳→06→木,壬午→19→木,癸未→20→木,
庚寅→27→木,辛卯→28→木,戊戌→35→木,己亥→36→木,
壬子→49→木,癸丑→50→木,庚申→57→木,辛酉→58→木。
第四類:納音為土
庚午→07→土,辛未→08→土,戊寅→15→土,己卯→16→土,
丙戌→23→土,丁亥→24→土,庚子→37→土,辛丑→38→土,
戊申→45→土,己酉→46→土,丙辰→53→土,丁巳→54→土。
第五類:納音為水
丙子→13→水,丁丑→14→水,甲申→21→水,乙酉→22→水,
壬辰→29→水,癸巳→30→水,丙午→43→水,丁未→44→水,
甲寅→51→水,乙卯→52→水,壬戌→59→水,癸亥→60→水。

(三)玄妙河圖
五行,也分陰陽。我們按照五行歸類數據,在各類中,計算陰陽二小類各自的序號和。注意,單數為陽,雙數為陰。
陽金01+09+17+31+39+47=144,陰金02+10+18+32+40+48=150。
陽火03+11+25+33+41+55=168,陰火04+12+26+34+42+56=174。
陽土07+15+23+37+45+53=180,陰土08+16+24+38+46+54=186。
陽木05+19+27+35+49+57=192,陰木06+20+28+36+50+58=198。
陽水13+21+29+43+51+59=216,陰水14+22+30+44+52+60=222。

河圖數理:北方,一六為水;南方,二七為火;東方,三八為木;西方,四九為金;中央,五十為土。
□□七□□
□□二□□
八三五四九
□□一□□
□□六□□

河圖等差:6-1=5,7-2=5,8-3=5,9-4=5,10-5=5;
納音等差:150-144=6,174-168=6,198-192=6,222-216=6,186-180=6。
河圖等和:內1+4=2+3,外6+9=7+8;
納音等和:陽216+144=168+192,陰222+150=174+198。

納音出乎五行,河圖也是五行數理。我們看到,納音與河圖之間,竟然有這般巧妙的連繫――水數+金數=火數+木數。造化之奧,實在是不可思議!

(四)娶妻生子
對於納音理論,古人總結了「同類娶妻,隔八生子」的有趣規律。現在,我們從算術的角度,給出明確的說明。經由認真分析,我們將前面的歸類數據,給出如下新的排列形式。(請注意01,07,13,19,25的位置。)
甲子→01→金,乙丑→02→金,壬申→09→金,癸酉→10→金,
庚辰→17→金,辛巳→18→金,甲午→31→金,乙未→32→金,
壬寅→39→金,癸卯→40→金,庚戌→47→金,辛亥→48→金。
庚午→07→土,辛未→08→土,戊寅→15→土,己卯→16→土,
丙戌→23→土,丁亥→24→土,庚子→37→土,辛丑→38→土,
戊申→45→土,己酉→46→土,丙辰→53→土,丁巳→54→土。
丙子→13→水,丁丑→14→水,甲申→21→水,乙酉→22→水,
壬辰→29→水,癸巳→30→水,丙午→43→水,丁未→44→水,
甲寅→51→水,乙卯→52→水,壬戌→59→水,癸亥→60→水。
壬午→19→木,癸未→20→木,庚寅→27→木,辛卯→28→木,
戊戌→35→木,己亥→36→木,壬子→49→木,癸丑→50→木,
庚申→57→木,辛酉→58→木,戊辰→05→木,己巳→06→木。
戊子→25→火,己丑→26→火,丙申→33→火,丁酉→34→火,
甲辰→41→火,乙巳→42→火,戊午→55→火,己未→56→火,
丙寅→03→火,丁卯→04→火,甲戌→11→火,乙亥→12→火。

■納音序號■
我們給出序號函數f[x,y,z,w]≡30x+8y+z+6w+1(mod60)。
規定變量的取值範圍為:x=0,1;y=0,1,2;z=0,1;w=0,1,2,3,4。

■納音規則■
w=0,序號f[x,y,z,w]對映甲子納音五行為金;
w=1,序號f[x,y,z,w]對映甲子納音五行為土;
w=2,序號f[x,y,z,w]對映甲子納音五行為水;
w=3,序號f[x,y,z,w]對映甲子納音五行為木;
w=4,序號f[x,y,z,w]對映甲子納音五行為火。

■納音編碼■
甲子→01→0000,乙丑→02→0010,壬申→09→0100,癸酉→10→0110,
庚辰→17→0200,辛巳→18→0210,甲午→31→1000,乙未→32→1010,
壬寅→39→1100,癸卯→40→1110,庚戌→47→1200,辛亥→48→1210。
庚午→07→0001,辛未→08→0011,戊寅→15→0101,己卯→16→0111,
丙戌→23→0201,丁亥→24→0211,庚子→37→1001,辛丑→38→1011,
戊申→45→1101,己酉→46→1111,丙辰→53→1201,丁巳→54→1211。
丙子→13→0002,丁丑→14→0012,甲申→21→0102,乙酉→22→0112,
壬辰→29→0202,癸巳→30→0212,丙午→43→1002,丁未→44→1012,
甲寅→51→1102,乙卯→52→1112,壬戌→59→1202,癸亥→60→1212。
壬午→19→0003,癸未→20→0013,庚寅→27→0103,辛卯→28→0113,
戊戌→35→0203,己亥→36→0213,壬子→49→1003,癸丑→50→1013,
庚申→57→1103,辛酉→58→1113,戊辰→05→1203,己巳→06→1213。
戊子→25→0004,己丑→26→0014,丙申→33→0104,丁酉→34→0114,
甲辰→41→0204,乙巳→42→0214,戊午→55→1004,己未→56→1014,
丙寅→03→1104,丁卯→04→1114,甲戌→11→1204,乙亥→12→1214。

下面,我們看一下實際的例子。
例子一:甲子→01→金
f[0,0,0,0]=30×0+8×0+1×0+6×0+1=1,1≡1(mod60)
w=0,對映甲子納音五行為金。

例子二:丙寅→03→火
f[1,1,0,4]=30×1+8×1+1×0+6×4+1=63,63≡3(mod60)
w=4,對映甲子納音五行為火。

按照我們的定義,f[x,0,z,w],f[x,1,z,w],f[x,2,z,w]這三者都映射為w,自然具有相同的五音五行屬性。這樣,我們就完全解釋清楚了古人所說的規律。而且,我們得到的更多,五音十二律的變化,盡在其中。

納音蘊涵著一個四元函數。我們看到,x有2個選擇,y有3個選擇,z有2個選擇,w有5個選擇。從組合計數的角度看,式子f=30x+8y+z+6w+1,按照變量[x,y,z,w]的允許取值,恰好有2×3×2×5種獨立的結果,這正是六十之數。