【正見網2009年03月03日】
河圖洛書八卦，這是古代中國人的「數」學。在前面的短文中，我們介紹了北宋理學家邵雍的傳世之作《伏羲先天六十四卦次序方圓圖》。以數解卦，這是一條通往過去未來的道路。在古代東方，以邵雍學說為頂峰；在近代西方，以萊布尼茲為開拓者；在當代世界，有眾多的人在探索。
本文中，我們繼續考慮邵雍的六十四卦方圖排列形式。表中六十四卦的書寫格式為：下卦在前，上卦在後。（電腦時代，由於書寫方式的變化，我只好用這樣不同於古人的辦法了。）
坤坤，坤艮，坤坎，坤巽，坤震，坤離，坤兌，坤乾
艮坤，艮艮，艮坎，艮巽，艮震，艮離，艮兌，艮乾
坎坤，坎艮，坎坎，坎巽，坎震，坎離，坎兌，坎乾
巽坤，巽艮，巽坎，巽巽，巽震，巽離，巽兌，巽乾
震坤，震艮，震坎，震巽，震震，震離，震兌，震乾
離坤，離艮，離坎，離巽，離震，離離，離兌，離乾
兌坤，兌艮，兌坎，兌巽，兌震，兌離，兌兌，兌乾
乾坤，乾艮，乾坎，乾巽，乾震，乾離，乾兌，乾乾
（一）對稱加法數表
方圖與洛書很象，都是方陣形式。有很多人嘗試將這個六十四卦方圖化為八行八列數陣，當年德國人萊布尼茲的天才創見是化為0-1數表，這個思路我們在前面的短文中已經考慮過。對於今人來說，一個常見的簡單辦法是對卦數作加法。首先，將八卦配上八個數；接著，在六十四卦方圖中，將每個卦換成上卦與下卦各自所配之數的和，這樣就得到了一張加法數表。
卦名：坤，艮，坎，巽，震，離，兌，乾
卦數：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
和數：數表中第i行第j列的數為ai+aj，這裡i，j取數1-8。
a1+a1, a1+a2, a1+a3, a1+a4, a1+a5, a1+a6, a1+a7, a1+a8
a2+a1, a2+a2, a2+a3, a2+a4, a2+a5, a2+a6, a2+a7, a2+a8
a3+a1, a3+a2, a3+a3, a3+a4, a3+a5, a3+a6, a3+a7, a3+a8
a4+a1, a4+a2, a4+a3, a4+a4, a4+a5, a4+a6, a4+a7, a4+a8
a5+a1, a5+a2, a5+a3, a5+a4, a5+a5, a5+a6, a5+a7, a5+a8
a6+a1, a6+a2, a6+a3, a6+a4, a6+a5, a6+a6, a6+a7, a6+a8
a7+a1, a7+a2, a7+a3, a7+a4, a7+a5, a7+a6, a7+a7, a7+a8
a8+a1, a8+a2, a8+a3, a8+a4, a8+a5, a8+a6, a8+a7, a8+a8
這一類數陣，看上去比較平凡，數字沿主對角線對稱排列。第i行第j列的數與第j行第i列的數相同。（ai+aj=aj+ai。）
我們舉一個簡單的例子。
卦數：a1=01, a2=02, a3=03, a4=04, a5=06, a6=07, a7=08, a8=09。
02，03，04，05，07，08，09，10
03，04，05，06，08，09，10，11
04，05，06，07，09，10，11，12
05，06，07，08，10，11，12，13
07，08，09，10，12，13，14，15
08，09，10，11，13，14，15，16
09，10，11，12，14，15，16，17
10，11，12，13，15，16，17，18
這一類數陣，也是有非常有意義的，只是這篇短文並不作計算。純粹從數的角度來看，八行八列只是一個例子，同樣可以計算九行九列，乃至更大更小。對於我們來說，寫具體的數字，比寫字母符號更接近日常習慣。所得的加法數表，有什麼用呢？這是很多人關心的一個問題，考慮到古人的各種陣法，也許有人會製作成實物模型。
（二）非對稱加法數表
在前面的對稱加法數表中，我們忽略了卦的位置――上卦與下卦，現在考慮新的配數方法，區分上卦和下卦。首先，將排在上卦的八卦配上八個數；接著，將排在下卦的八卦配上八個數；然後，在六十四卦方圖中，將每個卦換成上卦與下卦各自所配之數的和，這樣就得到了一張加法數表。（為了和對稱加法數表區別，我們總約定：上卦配數和下卦配數不可以完全相同。）
卦名：坤，艮，坎，巽，震，離，兌，乾
下卦：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8
上卦：b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8
和數：數表中第i行第j列的數為ai+bj，這裡i，j取數1-8。
a1+b1, a1+b2, a1+b3, a1+b4, a1+b5, a1+b6, a1+b7, a1+b8
a2+b1, a2+b2, a2+b3, a2+b4, a2+b5, a2+b6, a2+b7, a2+b8
a3+b1, a3+b2, a3+b3, a3+b4, a3+b5, a3+b6, a3+b7, a3+b8
a4+b1, a4+b2, a4+b3, a4+b4, a4+b5, a4+b6, a4+b7, a4+b8
a5+b1, a5+b2, a5+b3, a5+b4, a5+b5, a5+b6, a5+b7, a5+b8
a6+b1, a6+b2, a6+b3, a6+b4, a6+b5, a6+b6, a6+b7, a6+b8
a7+b1, a7+b2, a7+b3, a7+b4, a7+b5, a7+b6, a7+b7, a7+b8
a8+b1, a8+b2, a8+b3, a8+b4, a8+b5, a8+b6, a8+b7, a8+b8
前面的短文中，我們已經認識到了，在六十四卦方圖中，同樣可以劃分轉盤結構。本文中，我們對新的數表作同樣的嘗試。在這裡，我們給出上述八行八列非對稱加法數表的一種常見模式――全等差數陣。為方便理解，我們同時也給出一個簡單的數字示例。在計算的時候，為了簡潔，我們仍然考慮計算轉盤結構和螺旋結構，這是二種具有典範意義的基本結構。
洛書旋機方程組
數字等和a+b+c+d=e+f+g+h
平方等和a^2+b^2+c^2+d^2=e^2+f^2+g^2+h^2
立方等和a^3+b^3+c^3+d^3=e^3+f^3+g^3+h^3
這組方程，我們已經見過好多次了。面對八個未知數的三次方程，說實在的，我並不知道這樣的方程該如何求解。我知道的只是，如何藉助轉盤結構和螺旋結構，為這組方程提供無數無數的解。
一類非對稱加法數表――全等差數陣
卦名：坤，艮，坎，巽，震，離，兌，乾
下卦：a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8，這八個數構成等差數列；
上卦：b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8，這八個數構成等差數列。
我們看一個具體的例子，所得的數表，橫向每行依次增加3，縱向每列依次增加1。整體上看，數表中數字的分布並不關於主對角線對稱。
下卦：a1=01, a2=02, a3=03, a4=04, a5=05, a6=06, a7=07, a8=08；
上卦：b1=00, b2=03, b3=06, b4=09, b5=12, b6=15, b7=18, b8=21。
01，04，07，10，13，16，19，22
02，05，08，11，14，17，20，23
03，06，09，12，15，18，21，24
04，07，10，13，16，19，22，25
05，08，11，14，17，20，23，26
06，09，12，15，18，21，24，27
07，10，13，16，19，22，25，28
08，11，14，17，20，23，26，29
[1]轉盤結構
????????
?●●●●●●?
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?●?●●?●?
?●?●●?●?
?●????●?
?●●●●●●?
????????
所謂轉盤結構，類似於周天循環，實際的例子是行星運行軌跡。
第四層轉盤
01，04，07，10，13，16，19，22
02，?，?，?，?，?，?，23
03，?，?，?，?，?，?，24
04，?，?，?，?，?，?，25
05，?，?，?，?，?，?，26
06，?，?，?，?，?，?，27
07，?，?，?，?，?，?，28
08，11，14，17，20，23，26，29
正向取數
01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02，
22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19，
29→26→23→20→17→14→11→08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28，
08→07→06→05→04→03→02→01→04→07→10→13→16→19→22→23→24→25→26→27→28→29→26→23→20→17→14→11；
反向取數
01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04，
08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07，
29→28→27→26→25→24→23→22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26，
22→19→16→13→10→07→04→01→02→03→04→05→06→07→08→11→14→17→20→23→26→29→28→27→26→25→24→23。
數字等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411
=60 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423
=60 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
平方等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302^2+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619^2+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728^2+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411^2
=1 416 781 858 171 574 125 068 456 197 314 703 816 019 389 878 585 900 018 440 377 635 963 738 804 203 860 892 572 307 507 294 351 555 759 595 545 270
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704^2+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607^2+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326^2+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423^2
=1 416 781 858 171 574 125 068 456 197 314 703 816 019 389 878 585 900 018 440 377 635 963 738 804 203 860 892 572 307 507 294 351 555 759 595 545 270
立方等和
01040710131619222324252627282926232017141108070605040302^3+
22232425262728292623201714110807060504030201040710131619^3+
29262320171411080706050403020104071013161922232425262728^3+
08070605040302010407101316192223242526272829262320171411^3
=36 572 701 263 969 344 500 078 559 654 772 760 204 459 842 687 761 017 339 488 931 649 651 742 586 582 450 845 472 037 908 858 461 548 448 636 402 510 544 322 467 994 730 593 258 544 670 711 435 800 060 309 337 646 625 150
01020304050607081114172023262928272625242322191613100704^3+
08111417202326292827262524232219161310070401020304050607^3+
29282726252423221916131007040102030405060708111417202326^3+
22191613100704010203040506070811141720232629282726252423^3
=36 572 701 263 969 344 500 078 559 654 772 760 204 459 842 687 761 017 339 488 931 649 651 742 586 582 450 845 472 037 908 858 461 548 448 636 402 510 544 322 467 994 730 593 258 544 670 711 435 800 060 309 337 646 625 150
第三層轉盤
05，08，11，14，17，20
06，?，?，?，?，21
07，?，?，?，?，22
08，?，?，?，?，23
09，?，?，?，?，24
10，13，16，19，22，25
正向取數
05→08→11→14→17→20→21→22→23→24→25→22→19→16→13→10→09→08→07→06，
20→21→22→23→24→25→22→19→16→13→10→09→08→07→06→05→08→11→14→17，
25→22→19→16→13→10→09→08→07→06→05→08→11→14→17→20→21→22→23→24，
10→09→08→07→06→05→08→11→14→17→20→21→22→23→24→25→22→19→16→13；
反向取數
05→06→07→08→09→10→13→16→19→22→25→24→23→22→21→20→17→14→11→08，
10→13→16→19→22→25→24→23→22→21→20→17→14→11→08→05→06→07→08→09，
25→24→23→22→21→20→17→14→11→08→05→06→07→08→09→10→13→16→19→22，
20→17→14→11→08→05→06→07→08→09→10→13→16→19→22→25→24→23→22→21。
數字等和
0508111417202122232425221916131009080706+
2021222324252219161310090807060508111417+
2522191613100908070605081114172021222324+
1009080706050811141720212223242522191613
=6 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
0506070809101316192225242322212017141108+
1013161922252423222120171411080506070809+
2524232221201714110805060708091013161922+
2017141108050607080910131619222524232221
=6 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060 606 060
平方等和
0508111417202122232425221916131009080706^2+
2021222324252219161310090807060508111417^2+
2522191613100908070605081114172021222324^2+
1009080706050811141720212223242522191613^2
=11 723 211 300 867 256 360 975 513 525 191 511 091 117 009 497 051 731 456 182 084 266 829 299 030 709 070
0506070809101316192225242322212017141108^2+
1013161922252423222120171411080506070809^2+
2524232221201714110805060708091013161922^2+
2017141108050607080910131619222524232221^2
=11 723 211 300 867 256 360 975 513 525 191 511 091 117 009 497 051 731 456 182 084 266 829 299 030 709 070
立方等和
0508111417202122232425221916131009080706^3+
2021222324252219161310090807060508111417^3+
2522191613100908070605081114172021222324^3+
1009080706050811141720212223242522191613^3
=25 460 849 987 385 322 274 128 339 436 793 091 708 658 819 675 732 550 483 754 540 723 297 214 384 413 088 408 878 472 325 643 856 350 098 821 365 176 096 150
0506070809101316192225242322212017141108^3+
1013161922252423222120171411080506070809^3+
2524232221201714110805060708091013161922^3+
2017141108050607080910131619222524232221^3
=25 460 849 987 385 322 274 128 339 436 793 091 708 658 819 675 732 550 483 754 540 723 297 214 384 413 088 408 878 472 325 643 856 350 098 821 365 176 096 150
第二層轉盤
09，12，15，18
10，?，?，19
11，?，?，20
12，15，18，21
正向取數
09→12→15→18→19→20→21→18→15→12→11→10，
18→19→20→21→18→15→12→11→10→09→12→15，
21→18→15→12→11→10→09→12→15→18→19→20，
12→11→10→09→12→15→18→19→20→21→18→15；
反向取數
09→10→11→12→15→18→21→20→19→18→15→12，
12→15→18→21→20→19→18→15→12→09→10→11，
21→20→19→18→15→12→09→10→11→12→15→18，
18→15→12→09→10→11→12→15→18→21→20→19。
數字等和
091215181920211815121110+181920211815121110091215+
211815121110091215181920+121110091215181920211815
=606 060 606 060 606 060 606 060
091011121518212019181512+121518212019181512091011+
212019181512091011121518+181512091011121518212019
=606 060 606 060 606 060 606 060
平方等和
091215181920211815121110^2+181920211815121110091215^2+
211815121110091215181920^2+121110091215181920211815^2
=100 948 472 604 628 160 801 958 989 960 618 304 462 748 288 950
091011121518212019181512^2+121518212019181512091011^2+
212019181512091011121518^2+181512091011121518212019^2
=100 948 472 604 628 160 801 958 989 960 618 304 462 748 288 950
立方等和
091215181920211815121110^3+181920211815121110091215^3+
211815121110091215181920^3+121110091215181920211815^3
=18 059 195 258 274 230 088 766 492 807 229 318 162 283 624 119 852 769 939 059 927 122 650 750
091011121518212019181512^3+121518212019181512091011^3+
212019181512091011121518^3+181512091011121518212019^3
=18 059 195 258 274 230 088 766 492 807 229 318 162 283 624 119 852 769 939 059 927 122 650 750
第一層轉盤
13，16
14，17
正向取數
13→16→17→14，16→17→14→13，17→14→13→16，14→13→16→17；
反向取數
13→14→17→16，14→17→16→13，17→16→13→14，16→13→14→17。
數字等和
13161714+16171413+17141316+14131617=60 606 060
13141716+14171613+17161314+16131417=60 606 060
平方等和
13161714^2+16171413^2+17141316^2+14131617^2=928 272 627 080 910
13141716^2+14171613^2+17161314^2+16131417^2=928 272 627 080 910
立方等和
13161714^3+16171413^3+17141316^3+14131617^3
=14 367 736 627 245 814 108 950
13141716^3+14171613^3+17161314^3+16131417^3
=14 367 736 627 245 814 108 950
[2]螺旋結構
???●?
●●?●?
?????
?●?●●
?●???
這裡所說的螺旋結構，形如.d字符，實際的例子是銀河星系。很顯然，雙數階方陣，並沒有中心數字，因此無法構造螺旋結構。我們考慮子方陣，為了簡單總是從左上角開始取數，依次選取七階，五階，三階子方陣。
七階子方陣
01，04，07，10，13，16，19
02，05，08，11，14，17，20
03，06，09，12，15，18，21
04，07，10，13，16，19，22
05，08，11，14，17，20，23
06，09，12，15，18，21，24
07，10，13，16，19，22，25
01，04，07，10，?，?，19
?，?，?，11，?，?，20
?，?，?，12，?，?，21
04，07，10，13，16，19，22
05，?，?，14，?，?，?
06，?，?，15，?，?，?
07，?，?，16，19，22，25
.d字符正向取數
13→12→11→10→07→04→01，13→10→07→04→05→06→07，
13→14→15→16→19→22→25，13→16→19→22→21→20→19；
01，?，?，10，13，16，19
02，?，?，11，?，?，?
03，?，?，12，?，?，?
04，07，10，13，16，19，22
?，?，?，14，?，?，23
?，?，?，15，?，?，24
07，10，13，16，?，?，25
.d字符反向取數
13→12→11→10→13→16→19，13→16→19→22→23→24→25，
13→14→15→16→13→10→07，13→10→07→04→03→02→01。
數字等和
13121110070401+13100704050607+13141516192225+13161922212019
=52 525 252 525 252
13121110131619+13161922232425+13141516131007+13100704030201
=52 525 252 525 252
平方等和
13121110070401^2+13100704050607^2+13141516192225^2+13161922212019^2
=689 727 620 246 920 181 531 876 236
13121110131619^2+13161922232425^2+13141516131007^2+13100704030201^2
=689 727 620 246 920 181 531 876 236
立方等和
13121110070401^3+13100704050607^3+13141516192225^3+13161922212019^3
=9 057 084 036 525 355 551 289 291 743 518 576 683 228
13121110131619^3+13161922232425^3+13141516131007^3+13100704030201^3
=9 057 084 036 525 355 551 289 291 743 518 576 683 228
五階子方陣
01，04，07，10，13
02，05，08，11，14
03，06，09，12，15
04，07，10，13，16
05，08，11，14，17
01，04，07，?，13
?，?，08，?，14
03，06，09，12，15
04，?，10，?，?
05，?，11，14，17
.d字符正向取數
09→08→07→04→01，09→12→15→14→13，
09→10→11→14→17，09→06→03→04→05；
01，?，07，10，13
02，?，08，?，?
03，06，09，12，15
?，?，10，?，16
05，08，11，?，17
.d字符反向取數
09→08→07→10→13，09→12→15→16→17，
09→10→11→08→05，09→06→03→02→01。
數字等和
0908070401+0912151413+0910111417+0906030405=3 636 363 636
0908071013+0912151617+0910110805+0906030201=3 636 363 636
平方等和
0908070401^2+0912151413^2+0910111417^2+0906030405^2
=3 305 805 939 548 409 284
0908071013^2+0912151617^2+0910110805^2+0906030201^2
=3 305 805 939 548 409 284
立方等和
0908070401^3+0912151413^3+0910111417^3+0906030405^3
=3 005 315 974 275 520 769 815 122 036
0908071013^3+0912151617^3+0910110805^3+0906030201^3
=3 005 315 974 275 520 769 815 122 036
三階子方陣
01，04，07
02，05，08
03，06，09
.d字符正向取數
05→04→01，05→08→07，05→06→09，05→02→03；
.d字符反向取數
05→04→07，05→02→01，05→06→03，05→08→09。
數字等和
050401+050807+050609+050203=202 020
050407+050201+050603+050809=202 020
平方等和
050401^2+050807^2+050609^2+050203^2=10 203 224 140
050407^2+050201^2+050603^2+050809^2=10 203 224 140
立方等和
050401^3+050807^3+050609^3+050203^3=515 334 445 271 100
050407^3+050201^3+050603^3+050809^3=515 334 445 271 100
這張數表，對於同類全等差數陣來說，算是比較簡單的一個了，數目並不大。如果願意的話，可以選一個複雜點的。當我多方求證，在漫長的計算道路走過後，終於明白了最簡單的才是最好的。在數的領域，也要隨其自然。
計算表明：這類非對稱加法數表，劃分轉盤結構後，遵循洛書旋機方程組；對其子方陣劃分螺旋結構後，同樣遵循洛書旋機方程組。
數表是一個生命體，數字好比穴位，不同層次的轉盤好比脈絡。穴位也好，脈絡也好，往高層次發展，會變化為無脈無穴。這一點，同樣在數表中有體現。換句話說，我們所揭示的洛書旋機方程組背後還有奧妙。看一個簡單的例子，左邊為全等差數陣，右邊為洛書：
一二三←→四九二
四五六←→三五七
七八九←→八一六
我們經由本文的計算，可以知道，無論是「全等差模式」還是「洛書模式」，劃分轉盤結構後，都遵循洛書旋機方程組。為甚麼會這樣呢？九數在計算中發現，這個事實的背後蘊涵著一個非常有趣的奧妙。
