算術漫談：洛書.d字與黃金數列

從前古代的時候，大約相當於中國這裡的南宋，有一位義大利人叫斐波那契，他寫了一本著名的算術書，書裡面記載了一個兔子繁殖的問題。由這個問題衍生出了一個有趣的數列――斐波那契數列，如今這個數列從西方到東方已是廣為人知。他寫下的數列異乎尋常的簡單：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，……

你看，只是在作加法呢！1+1=2，1+2=3，2+3=5，3+5=8。繼續下去，5+8=13，8+13=21。總之，只要你願意算，可以永無休止的算下去。這是一個既簡單又奧妙的數列。

我們在前面的短文裡，已經談過這個數列隱含著甲子循環的模式。這裡，我們繼續作點新的思考，將數列的出發點換成任意的數字。
令F[1]=a， F[2]=b，F[n]=F[n-1]+F[n-2]，這裡n為從3開始的自然數。
一般來說，有F[n]=xa+yb，這裡的係數x，y可以計算出來且只與n有關。接著，我們將x，y換成各自除以10的餘數，所得記作f[n]。
則有f[1]=a， f[2]=b，f[n]≡f[n-1]+f[n-2]（mod10）。

（一） 計算結果
計算是枯燥的，我們直接記錄結果。為了看的整齊，我們排列成五列十多行的形式。總計收錄了六十二個數據。
f[01]=1a+0b，f[02]=0a+1b，f[03]=1a+1b，f[04]=1a+2b，f[05]=2a+3b，
f[06]=3a+5b，f[07]=5a+8b，f[08]=8a+3b，f[09]=3a+1b，f[10]=1a+4b，
f[11]=4a+5b，f[12]=5a+9b，f[13]=9a+4b，f[14]=4a+3b，f[15]=3a+7b，
f[16]=7a+0b，f[17]=0a+7b，f[18]=7a+7b，f[19]=7a+4b，f[20]=4a+1b，
f[21]=1a+5b，f[22]=5a+6b，f[23]=6a+1b，f[24]=1a+7b，f[25]=7a+8b，
f[26]=8a+5b，f[27]=5a+3b，f[28]=3a+8b，f[29]=8a+1b，f[30]=1a+9b，
f[31]=9a+0b，f[32]=0a+9b，f[33]=9a+9b，f[34]=9a+8b，f[35]=8a+7b，
f[36]=7a+5b，f[37]=5a+2b，f[38]=2a+7b，f[39]=7a+9b，f[40]=9a+6b，
f[41]=6a+5b，f[42]=5a+1b，f[43]=1a+6b，f[44]=6a+7b，f[45]=7a+3b，
f[46]=3a+0b，f[47]=0a+3b，f[48]=3a+3b，f[49]=3a+6b，f[50]=6a+9b，
f[51]=9a+5b，f[52]=5a+4b，f[53]=4a+9b，f[54]=9a+3b，f[55]=3a+2b，
f[56]=2a+5b，f[57]=5a+7b，f[58]=7a+2b，f[59]=2a+9b，f[60]=9a+1b，
f[61]=1a+0b，f[62]=0a+1b，……

（二） 六十周期
仔細觀察前面的計算結果，我們發現和從前一樣，依然不變的是甲子循環模式。為了看的整齊，我們取前面的六十個數據，從新排列成四列十五行的形式。後面將看到，這樣排列是有特殊意義的。
f[01]=1a+0b，f[16]=7a+0b，f[31]=9a+0b，f[46]=3a+0b，
f[02]=0a+1b，f[17]=0a+7b，f[32]=0a+9b，f[47]=0a+3b，
f[03]=1a+1b，f[18]=7a+7b，f[33]=9a+9b，f[48]=3a+3b，
f[04]=1a+2b，f[19]=7a+4b，f[34]=9a+8b，f[49]=3a+6b，
f[05]=2a+3b，f[20]=4a+1b，f[35]=8a+7b，f[50]=6a+9b，
f[06]=3a+5b，f[21]=1a+5b，f[36]=7a+5b，f[51]=9a+5b，
f[07]=5a+8b，f[22]=5a+6b，f[37]=5a+2b，f[52]=5a+4b，
f[08]=8a+3b，f[23]=6a+1b，f[38]=2a+7b，f[53]=4a+9b，
f[09]=3a+1b，f[24]=1a+7b，f[39]=7a+9b，f[54]=9a+3b，
f[10]=1a+4b，f[25]=7a+8b，f[40]=9a+6b，f[55]=3a+2b，
f[11]=4a+5b，f[26]=8a+5b，f[41]=6a+5b，f[56]=2a+5b，
f[12]=5a+9b，f[27]=5a+3b，f[42]=5a+1b，f[57]=5a+7b，
f[13]=9a+4b，f[28]=3a+8b，f[43]=1a+6b，f[58]=7a+2b，
f[14]=4a+3b，f[29]=8a+1b，f[44]=6a+7b，f[59]=2a+9b，
f[15]=3a+7b，f[30]=1a+9b，f[45]=7a+3b，f[60]=9a+1b。

（三）洛書模式
四九二
三五七
八一六

我們注意到，上面的數表中，有非常整齊的一組數據：
f[03]=1a+1b，f[18]=7a+7b，f[33]=9a+9b，f[48]=3a+3b。
這裡的係數十分有規律，「一→七→九→三」正好是洛書中的數字旋轉順序。經由仔細演算，我們發現這個規律是普遍存在的，可以寫成一組同餘方程式。
f[n+15] ≡ 7f[n] （mod10）；
f[n+30] ≡ 9f[n] （mod10）；
f[n+45] ≡ 3f[n] （mod10）；
f[n+60] ≡ 1f[n] （mod10）。

圖片：洛書.d字

（1）數字排列沿.d字螺旋向內
f[08]=8a+3b，
f[23]=6a+1b，
f[38]=2a+7b，
f[53]=4a+9b；
（2）數字排列沿.d字螺旋向外
f[13]=9a+4b，
f[28]=3a+8b，
f[43]=1a+6b，
f[58]=7a+2b。

這裡排列的兩組數據，是從前面的六十周期中仔細選擇出來的。需要注意的一點是：08→23→38→53，13→28→43→58，這兩個序列都是依次增加15。

令人感到非常奇妙的是，這裡出現的係數正好遵循洛書的數字排列。看了這個計算結果，我們很自然的想起了古代中國人的話：一六共宗，二七同道，三八為朋，四九為友。

斐波那契數列是非常奇特的一個數列，西方人從中認識到了重要常數――黃金比0.618…，這個數列也因此得名黃金數列。我們從東方古老數術文化的角度，發現這個數列竟然也與八卦與甲子與五行與洛書有關。這樣看的話，這個數列的更深意義更豐富內容，還有待未來時代繼續發現。