算術漫談：六角星數與立體八卦

我們這個地球上，有許多人，都在琢磨數字142857。142857，是一個有趣的數，我們稱為六角星數。

九數給大家介紹一位洋人研究者。《新紀元週刊》第233期，刊登了一篇有趣的文章，文章的題目是《“國中國”王子密碼》。有興趣的朋友，可以找來看看。

本文中，九數採用了一種全新的方法，對六角星數142857作出解析。我們將看到，這個數字與立體八卦密切相關。特別有趣的是，我們發現，這個數字與《轉法輪》頁碼也有特殊的因緣。

（一）六角星數
如果我們在有理數中尋找有趣味的數，那麼毫無疑問，六角星數142857會入選。有許多人，經常用這個數做計算遊戲。

（1）趣味乘法
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
142857 × 7 = 999999 = 10^6 – 1

（2）循環小數
1 ÷ 7 = 0.142857 142857 142857 ......
2 ÷ 7 = 0.285714 285714 285714 ......
3 ÷ 7 = 0.428571 428571 428571 ......
4 ÷ 7 = 0.571428 571428 571428 ......
5 ÷ 7 = 0.714285 714285 714285 ......
6 ÷ 7 = 0.857142 857142 857142 ......
7 ÷ 7 = 0.999999 999999 999999 ...... = 1

人們注意到，六角星數142857，所代表的乘法和除法，是一個龐大的族群。之所以選取142857為“n角星數”的代表，完全是因為這個數最簡單。
一般而言，任意取一個大於5的質數p，我們都可以計算出1 ÷ p = 0. abcdef......，觀察小數點後的循環節，都會看到類似的規律。操縱這個規律的，是一條有趣的數論定理：a^p=a(模p)。a的p次方與a的差，總是p的倍數。
我們這裡的六角星數142857，正好是定理在a=10,p=7時的情形。

（二）立體八卦
我們想要對六角星數給出新的解析，如何才能夠實現呢？
大約三年前，九數知道用八卦即可。只是，後來的“算術漫談”以“黃金分割”為主，一直沒有將六角星數記錄成文。
我們考慮，用空間中的點（a,b,c）來表示八卦,這裡約定a,b,c的取值為+1或-1。
我們注意到，每個字母有兩個不同的取值，依此a,b,c自由取值，恰好有2×2×2=8個不同的組合。很明顯，（±1，±1，±1），正好能夠與八卦建立起單一的映射。
我們約定：坐標a表示下爻,坐標b表示中爻,坐標c表示上爻。我們又約定：數字+1，表示陽爻—；數字-1，表示陰爻- -。
依照這樣的約定，（a,b,c）=（±1，±1，±1），恰好能夠表示全部的八卦。

（1）先天八卦
北宋理學家邵雍，給出了先天八卦的排序，乾一兌二離三震四巽五坎六艮七坤八。我們按照這樣的次序記錄八卦。
兌乾巽←→二一五
離卦坎←→三序六
震坤艮←→四八七

乾卦第一，(+1,+1,+1)，下爻為陽—，中爻為陽—，上爻為陽—；
兌卦第二，(+1,+1,-1), 下爻為陽—，中爻為陽—，上爻為陽- -；
離卦第三，(+1,-1,+1), 下爻為陽—，中爻為陰- -，上爻為陽—；
震卦第四，(+1,-1,-1), 下爻為陽—，中爻為陰- -，上爻為陰- -；
巽卦第五，(-1,+1,+1), 下爻為陰- -，中爻為陽—，上爻為陽—；
坎卦第六，(-1,+1,-1), 下爻為陰- -，中爻為陽—，上爻為陰- -；
艮卦第七，(-1,-1,+1), 下爻為陰- -，中爻為陰- -，上爻為陽—；
坤卦第八，(-1,-1,-1), 下爻為陰- -，中爻為陰- -，上爻為陰- -。

當初，解析幾何從西方傳入中國的時候，人們注意到三個相互垂直的坐標平面把空間分成八個部分，並將每一部分稱為一個卦限。今天，我們回頭認識傳統文化，發現這個“卦限”的命名，真是高明之見。

（2）立體八卦
我們在空間中選取八卦所對映的八個點，以此作為頂點，畫出一個正方體SEDC—AFNB,其下底面為正方形SEDC,上底面為正方形AFNB。這裡的字母，按照逆時針順序排列，S→E→D→C，A→F→N→B。
①上底面：正方形AFNB
B巽卦(-1,+1,+1)-------------------N乾卦(+1,+1,+1)
A艮卦(-1,-1,+1)-------------------F離卦(+1,-1,+1)
②下底面：正方形SEDC
C坎卦(-1,+1,-1)-------------------D兌卦(+1,+1,-1)
S坤卦(-1,-1,-1)-------------------E震卦(+1,-1,-1)

（三）平面投影
《漢書》說，易有八卦，乾坤六子。
邵雍又說，乾坤縱而六子橫。

九數仔細琢磨這個“乾坤縱”，考慮讓這個正方體，按照乾坤為軸，縱向立起來用。此時，NS為軸，N乾在上方，S坤在下方，保持NS與桌面垂直。
我們注意到，△ACE是正三角形，△BDF也是正三角形，這兩個三角形在桌面上的投影，仍然是正三角形，分別記作△A′C′E和△B′D′F′。
同時，△A′C′E和△B′D′F′重疊，正好構成一個六角星，其六個頂點順時針排列，正好是A′，B′，C′，D′，E′，F′。
A′←→A艮卦(-1,-1,+1)
B′←→B巽卦(-1,+1,+1)
C′←→C坎卦(-1,+1,-1)
D′←→D兌卦(+1,+1,-1)
E′←→E震卦(+1,-1,-1)
F′←→F離卦(+1,-1,+1)

（四）數字映射
我們已經將立體八卦投影在平面上了，得到了一個六角星。這個六角星的中心，恰好是正六邊形A′B′C′D′E′F′的旋轉中心。

（1）被除數
我們的除法算式有六個，分別是1÷7，2÷7，3÷7，4÷7，5÷7，6÷7。這裡的除數不變，都是7；而被除數，分別是1，2，3，4，5，6。
我們需要在六個卦象與六個被除數之間，建立起一個一一映射。
我們考慮，任取一個卦(a,b,c),將其映射為數[7+4×a+2×b+1×c]÷2。
A′艮卦第七，(-1,-1,+1) , 映射為[7+4×(-1)+2×(-1)+1×(+1)]÷2=1；
B′坎卦第六，(-1,+1,-1) , 映射為[7+4×(-1)+2×(+1)+1×(-1)]÷2=2；
C′巽卦第五，(-1,+1,+1) , 映射為[7+4×(-1)+2×(+1)+1×(+1)]÷2=3；
D′震卦第四，(+1,-1,-1) , 映射為[7+4×(+1)+2×(-1)+1×(-1)]÷2=4；
E′離卦第三，(+1,-1,+1) , 映射為[7+4×(+1)+2×(-1)+1×(+1)]÷2=5；
F′兌卦第二，(+1,+1,-1), 映射為[7+4×(+1)+2×(+1)+1×(-1)]÷2=6。

（2）循環節
我們計算1÷7，得到的循環節是142857。其餘的k÷7，所得循環節，只是1，4，2，8，5，7這六個數字的某種排列。
同樣，我們也需要在六個卦象與循環節的六個數字之間，建立起一個一一映射。
我們考慮，任取一個卦(a,b,c),將其映射為數[9+6×a+3×b+2×c]÷2。
A′艮卦第七，(-1,-1,+1) , 映射為[9+6×(-1)+ 3×(-1)+ 2×(+1)]÷2=1；
B′坎卦第六，(-1,+1,-1) , 映射為[9+6×(-1)+ 3×(+1)+ 2×(-1)]÷2=2；
C′巽卦第五，(-1,+1,+1) , 映射為[9+6×(-1)+ 3×(+1)+ 2×(+1)]÷2=4；
D′震卦第四，(+1,-1,-1) , 映射為[9+6×(+1)+ 3×(-1)+ 2×(-1)]÷2=5；
E′離卦第三，(+1,-1,+1) , 映射為[9+6×(+1)+ 3×(-1)+ 2×(+1)]÷2=7；
F′兌卦第二，(+1,+1,-1), 映射為[9+6×(+1)+ 3×(+1)+ 2×(-1)]÷2=8。

（五）轉盤結構
為了看清數據之間的結構，我們考慮用幾何形體放置數據。

（1）順時針轉
我們畫出一個轉盤結構，這個轉盤由五層構成，每層分解為六個均等的區域。
第一層，順次寫上“頂點”，第二層寫上“卦象”，第三層寫上“坐標”，第四層寫上“被除數”，第五層寫上“循環節”。
各層區域的排列如下表所示。
頂點→卦象→坐標(a,b,c) →k為被除數（k÷7）→*為首位（******）
A′→艮卦→ (-1,-1,+1) →1為被除數（1÷7）→1為首位（142857）
B′→巽卦→ (-1,+1,+1) →3為被除數（3÷7）→4為首位（428571）
C′→坎卦→ (-1,+1,-1) →2為被除數（2÷7）→2為首位（285714）
D′→兌卦→ (+1,+1,-1) →6為被除數（6÷7）→8為首位（857142）
E′→震卦→ (+1,-1,-1) →4為被除數（4÷7）→5為首位（571428）
F′→離卦→ (+1,-1,+1) →5為被除數（5÷7）→7為首位（714285）

我們舉一個例子。比方說，選取了頂點B′所在的區域。
我們得到一個數據鏈條：B′→巽卦→ (-1,+1,+1) →3為被除數（3÷7）→4為首位（428571）
表達的意思是：
兌卦，映射到被除數是3，除法算式為3÷7，乘法算式為3×142857；
兌卦，映射到循環節是8，8為首位數字，按照B′→C′→D′→E′→F′→A′→......的次序順時針繞圈，得到小數點後428571循環。
所得結果，以除法算式表達為3÷7=0.428571循環，以乘法算式表達為3×142857=428571。

（2）卦象互補
我們看到，相對區域，卦象互補，是這個轉盤的顯著特徵。卦象的互補，必然造成相對區域的數字加法等和。
①A′與D′相對，艮與兌互補，被除數1+6=7，循環節1+8=9；
②B′與E′相對，巽與震互補，被除數3+4=7，循環節4+5=9；
③C′與F′相對，坎與離互補，被除數2+5=7，循環節2+7=9。

（3）內外相關
我們知道，被除數與循環節，都與卦象相映。隱去卦象，被除數與循環節，二者之間還有直接的連繫。
①A′與B′相鄰，（1，3）→1，算式（10×1–3）÷7=1；
②B′與C′相鄰，（3，2）→4，算式（10×3–2）÷7=4；
③C′與D′相鄰，（2，6）→2，算式（10×2–6）÷7=2；
④D′與E′相鄰，（6，4）→8，算式（10×6–4）÷7=8；
⑤E′與F′相鄰，（4，5）→5，算式（10×4–5）÷7=5；
⑥F′與A′相鄰，（5，1）→7，算式（10×5–1）÷7=7。

（六）數字因緣
《轉法輪》全書，每一講都具有獨立的篇幅。當上一講在第n頁結束時，下一講就在第n+1頁開始了。每一講的篇幅，都具有完整的頁碼。

（1）始終頁碼
我們翻開《轉法輪》，從第一講到第九講，記錄每一講開始的頁碼和結束的頁碼。
第一講，從第1頁開始，到第40頁結束。
第二講，從41頁開始，到第80頁結束。
第三講，從第81頁開始，到第124頁結束。
第四講，從第125頁開始，到第157頁結束。
第五講，從第158頁開始，到第182頁結束。
第六講，從第183頁開始，到第228頁結束。
第七講，從第229頁開始，到第260頁結束。
第八講，從第261頁開始，到第294頁結束。
第九講，從第295頁開始，到第332頁結束。

（2）獨立篇幅
根據前面的“始終頁碼”，我們能夠計算出每一講所具有的獨立篇幅。
第一講，包含四十頁。40。記作a[1]=40。
第二講，包含四十頁。80-40=40。記作a[2]=40。
第三講，包含四十四頁。124-80=44。記作a[3]=44。
第四講，包含三十三頁。157-124=33。記作a[4]=33。
第五講，包含二十五頁。182-157=25。記作a[5]=25。
第六講，包含四十六頁。228-182=46。記作a[6]=46。
第七講，包含三十二頁。260-228=32。記作a[7]=32。
第八講，包含三十四頁。294-260=34。記作a[8]=34。
第九講，包含三十八頁。332-294=38。記作a[9]=38。
我們注意到，以上九個數據中，單數有二個，雙數有七個。
由於雙數中有重複的，我們實際得到了六個不同的雙數：a[2]=40，a[3]=44，a[6]=46，a[7]=32，a[8]=34，a[9]=38。

（3）雪花圖案
我們先畫一個正六邊形ABCDEF。其中，頂點字母A,B，C,D,E,F按照順時針排列。
然後，我們依次在每個頂點放置數據：
在頂點A處，放置第七講a[7]=32頁；
在頂點B處，放置第九講a[9]=38頁；
在頂點C處，放置第八講a[8]=34頁；
在頂點D處，放置第六講a[6]=46頁；
在頂點E處，放置第二講a[2]=40頁；
在頂點F處，放置第三講a[3]=44頁。
在上一篇“算術漫談”中，我們記錄過此種雪花圖案蘊涵的數字現象。

現在，我們考慮一個線性映射：k→（k-30）÷2，這裡k為雙數頁碼。
頂點A：第七講a[7]=32頁，映射為（32-30）÷2=1；
頂點B：第九講a[9]=38頁，映射為（38-30）÷2=4；
頂點C：第八講a[8]=34頁，映射為（34-30）÷2=2；
頂點D：第六講a[6]=46頁，映射為（46-30）÷2=8；
頂點E：第二講a[2]=40頁，映射為（40-30）÷2=5；
頂點F：第三講a[3]=44頁，映射為（44-30）÷2=7。
我們看到，六角星數142857，與《轉法輪》頁碼，二者之間有一種奇妙的數字因緣。六角星數，與雪花圖案，至此密不可分。

本文只是九數的一點個人粗淺認識，僅供參考。