算術漫談:《周易》卦序與黃金分割(續十五)

九數


【正見網2015年11月27日】

這篇短文,九數依照北宋理學家邵雍的觀點,將六十四卦排列為一個封閉的圓環。然後,將《周易》卦序作為卦象與數字之間的一個映射。在此基礎上,我們作一點關於黃金分割的計算。

(一)《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序,書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。上經記錄三十卦,下經記錄三十四卦。

【上經】
乾卦第一,坤卦第二,屯卦第三,蒙卦第四,需卦第五,訟卦第六,師卦第七,比卦第八,小畜第九,履卦第十,泰卦第十一,否卦第十二,同人第十三,大有第十四,謙卦第十五,豫卦第十六,隨卦第十七,蠱卦第十八,臨卦第十九,觀卦第二十,噬嗑第二十一,賁卦第二十二,剝卦第二十三,復卦第二十四,無妄第二十五,大畜第二十六,頤卦第二十七,大過第二十八,坎卦第二十九,離卦第三十。

【下經】
咸卦第三十一,恆卦第三十二,遯卦第三十三,大壯第三十四,晉卦第三十五,明夷第三十六,家人第三十七,睽卦第三十八,蹇卦第三十九,解卦第四十,損卦第四十一,益卦第四十二,夬卦第四十三,姤卦第四十四,萃卦第四十五,升卦第四十六,困卦第四十七,井卦第四十八,革卦第四十九,鼎卦第五十,震卦第五十一,艮卦第五十二,漸卦第五十三,歸妹第五十四,豐卦第五十五,旅卦第五十六,巽卦第五十七,兌卦第五十八,渙卦第五十九,節卦第六十,中孚第六十一,小過第六十二,既濟第六十三,未濟第六十四。

(二)邵雍圓圖
北宋理學家邵雍,有先天六十四卦圓圖傳世。

(為了閱讀方便,有興趣的讀者,可以自己畫圖,或者在書上、網絡上找圖。)

此圖從乾卦開始,按照逆時針旋轉,順次排布六十四卦。從乾卦→……→復卦,為左半圈;從坤卦→……→姤卦,為右半圈。左半圈,右半圈,各包含三十二卦。
乾卦→夬卦→大有→大壯→小畜→需卦→大畜→泰卦→履卦→兌卦→睽卦→歸妹→中孚→節卦→損卦→臨卦→同人→革卦→離卦→豐卦→家人→既濟→賁卦→明夷→無妄→隨卦→噬嗑→震卦→益卦→屯卦→頤卦→復卦→坤卦→剝卦→比卦→觀卦→豫卦→晉卦→萃卦→否卦→謙卦→艮卦→蹇卦→漸卦→小過→旅卦→咸卦→遯卦→師卦→蒙卦→坎卦→渙卦→解卦→未濟→困卦→訟卦→升卦→蠱卦→井卦→巽卦→恆卦→鼎卦→大過→姤卦。

(三)序數圓環
(1)逆行環布
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44。

(2)周期循環
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→(開始循環)
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→……

(四)復與頤斷
(1)基本結構
[復卦24→坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31]→[遯卦33→師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32]→[鼎卦50→大過28→姤卦44→{乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54}→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19]→[同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27]→……

(2)簡化形式
[復卦24→……→咸卦31]→[遯卦33→……→恆卦32]→[鼎卦50→……→臨卦19]→[同人13→……→頤卦27]
注意,從鼎卦逆時針轉到臨卦,中間隱藏著一條子鏈,{乾卦01→……→歸妹54}。

(3)分段求和
①從復卦逆時針轉到咸卦,和為493
24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56+31=493

②從遯卦逆時針轉到恆卦,和為490
33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57+32=490

③從鼎卦逆時針轉到臨卦,和為606
50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11+10+58+38+54+61+60+41+19=606

④從同人逆時針轉到頤卦,和為491
13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42+03+27=491

總和=493+490+606+491=2080

(五)黃金分割
(1)從鼎卦逆時針轉到咸卦=總和×Ω×Ω×2,第二層次黃金分割
驗算:從鼎卦逆時針轉到咸卦=606+491+493=1590,總和=2080,
Ω×Ω=1590÷2÷2080=0.3822……
然後開平方,解出Ω=0.6177……

(2)從遯卦逆時針轉到頤卦=總和×Ω×Ω×2,第二層次黃金分割
驗算:從遯卦逆時針轉到頤卦=490+606+491=1587,總和=2080,
Ω×Ω=1587÷2÷2080=0.3814……
然後開平方,解出Ω=0.6176……

(3)從復卦逆時針轉到臨卦=總和×Ω×Ω×2,第二層次黃金分割
驗算:從復卦逆時針轉到臨卦=493+490+606=1589,總和=2080,
Ω×Ω=1589÷2÷2080=0.3819……
然後開平方,解出Ω=0.61803……
這一組,精度極高。與黃金比率Ω=0.6180339……比較,誤差不到十萬分之一。

(4)從復卦逆時針轉到咸卦=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:從復卦逆時針轉到咸卦=493,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=493÷2080=0.2370……
然後開立方,解出Ω=0.6188……

(5)從遯卦逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:從遯卦逆時針轉到恆卦=490,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=490÷2080=0.2355……
然後開立方,解出Ω=0.6176……

(6)從同人逆時針轉到頤卦=總和×Ω×Ω×Ω,第三層次黃金分割
驗算:從同人逆時針轉到頤卦=491,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=491÷2080=0.2360……
然後開立方,解出Ω=0.61802……
這一組,精度極高。與黃金比率Ω=0.6180339……比較,誤差不到十萬分之一。

(7)從復卦逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:從復卦逆時針轉到恆卦=493+490=983,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=983÷2÷2080=0.2362……
然後開立方,解出Ω=0.6182……

(8)從同人逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω×3,第三層次黃金分割
驗算:從同人逆時針轉到恆卦=491+493+490=1474,總和=2080,
Ω×Ω×Ω=1474÷3÷2080=0.2362……
然後開立方,解出Ω=0.6181……

(9)從鼎卦逆時針轉到臨卦=總和×Ω×Ω×Ω×Ω×2,第四層次黃金分割
驗算:從鼎卦逆時針轉到臨卦=606,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=606÷2÷2080=0.1456……
然後開四次方,解出Ω=0.6177……

(10)從乾卦逆時針轉到歸妹=總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第四層次黃金分割
驗算:從乾卦逆時針轉到歸妹=303,總和=2080,
Ω×Ω×Ω×Ω=303÷2080=0.1456……
然後開四次方,解出Ω=0.6177……
需要指出的是,(10)中的鏈條,隱藏在(9)中。

(六)復與頤連
我們注意到,從復卦起始,到頤卦終結,可以得到第三層次黃金分割,也可以得到第四層次黃金分割。但是,得不到第一、二層次黃金分割。
如何彌補這個缺陷呢?非常有趣的是,我們發現讓頤卦與復卦相連就可以了。

(1)基本結構
[頤卦27→復卦24→坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56]→[咸卦31→遯卦33→師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57]→[恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→乾卦01→夬卦43→大有14→{大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11]→[履卦10]→[兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→無妄25→隨卦17→噬嗑21}→震卦51→益卦42]→[屯卦03]

(2)簡化形式
[頤卦27→復卦24→……→旅卦56]→[咸卦31→……→巽卦57]→[恆卦32→……→泰卦11]→[履卦10]→[兌卦58→……→益卦42]→[屯卦03]
注意,從恆卦逆時針轉到益卦,中間隱藏著一條子鏈,{大壯34→……→噬嗑21}。

(3)分段求和
①從頤卦逆時針轉到旅卦,和為489
27+24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56=489

②從咸卦逆時針轉到巽卦,和為489
31+33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57=489

③從恆卦逆時針轉到泰卦,和為297
32+50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11=297

④履卦獨立,和為10

⑤從兌卦逆時針轉到益卦,和為792
58+38+54+61+60+41+19+13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42=792

⑥屯卦獨立,和為03

(七)黃金分割
①從頤卦逆時針轉到履卦=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:從頤卦逆時針轉到履卦=489+489+297+10=1285,總和=2080,
解出Ω=1285÷2080=0.6177……

②從兌卦逆時針轉到屯卦=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:從兌卦逆時針轉到屯卦=792+3=795,總和=2080,
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然後開平方,解出Ω=0.6182……

③從兌卦逆時針轉到旅卦=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:從兌卦逆時針轉到旅卦=792+3+489=1284,總和=2080,
解出Ω=1284÷2080=0.6173……

④從咸卦逆時針轉到履卦=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:從咸卦逆時針轉到履卦=489+297+10=796,總和=2080,
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然後開平方,解出Ω=0.6186……

⑤從震卦逆時針轉到大有=總和×Ω,第一層次黃金分割
驗算:從震卦逆時針轉到大有=1286,總和=2080,
解出Ω=1286÷2080=0.6182……

⑥從大壯逆時針轉到噬嗑=總和×Ω×Ω,第二層次黃金分割
驗算:從大壯逆時針轉到噬嗑=794,總和=2080,
Ω×Ω=794÷2080=0.3817……
然後開平方,解出Ω=0.6178……

⑦從屯卦逆時針轉到巽卦=總和×Ω×Ω×Ω×2,第三層次黃金分割
驗算:從屯卦逆時針轉到巽卦=3+489+489=981,總和=2080,
Ω×Ω=981÷2÷2080=0.2358……
然後開平方,解出Ω=0.6178……

⑧從恆卦逆時針轉到益卦=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω,第二、四層次黃金分割
驗算:從恆卦逆時針轉到益卦=297+10+792=1099,總和=2080,
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1099÷2080=0.5283……
這是一個四次方程,解出Ω=0.6182……

最後,我們總結一下本文所記錄的兩種計算方式。
總和
=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω×Ω×3+總和×Ω×Ω×Ω×Ω×2
=總和×Ω×Ω×Ω×2+(總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω)

①復頤相斷
此種情形,實現了第三、四層次的黃金分割,在精度上有突破。誤差最小時,大約為十萬分之一。
②頤復相連
此種情形,實現了第一、二層次黃金分割,精度一般。
 

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