【正見網2015年11月27日】
這篇短文，九數依照北宋理學家邵雍的觀點，將六十四卦排列為一個封閉的圓環。然後，將《周易》卦序作為卦象與數字之間的一個映射。在此基礎上，我們作一點關於黃金分割的計算。
（一）《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序，書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。上經記錄三十卦，下經記錄三十四卦。
【上經】
乾卦第一，坤卦第二，屯卦第三，蒙卦第四，需卦第五，訟卦第六，師卦第七，比卦第八，小畜第九，履卦第十，泰卦第十一，否卦第十二，同人第十三，大有第十四，謙卦第十五，豫卦第十六，隨卦第十七，蠱卦第十八，臨卦第十九，觀卦第二十，噬嗑第二十一，賁卦第二十二，剝卦第二十三，復卦第二十四，無妄第二十五，大畜第二十六，頤卦第二十七，大過第二十八，坎卦第二十九，離卦第三十。
【下經】
咸卦第三十一，恆卦第三十二，遯卦第三十三，大壯第三十四，晉卦第三十五，明夷第三十六，家人第三十七，睽卦第三十八，蹇卦第三十九，解卦第四十，損卦第四十一，益卦第四十二，夬卦第四十三，姤卦第四十四，萃卦第四十五，升卦第四十六，困卦第四十七，井卦第四十八，革卦第四十九，鼎卦第五十，震卦第五十一，艮卦第五十二，漸卦第五十三，歸妹第五十四，豐卦第五十五，旅卦第五十六，巽卦第五十七，兌卦第五十八，渙卦第五十九，節卦第六十，中孚第六十一，小過第六十二，既濟第六十三，未濟第六十四。
（二）邵雍圓圖
北宋理學家邵雍，有先天六十四卦圓圖傳世。
（為了閱讀方便，有興趣的讀者，可以自己畫圖，或者在書上、網絡上找圖。）
此圖從乾卦開始，按照逆時針旋轉，順次排布六十四卦。從乾卦→……→復卦，為左半圈；從坤卦→……→姤卦，為右半圈。左半圈，右半圈，各包含三十二卦。
乾卦→夬卦→大有→大壯→小畜→需卦→大畜→泰卦→履卦→兌卦→睽卦→歸妹→中孚→節卦→損卦→臨卦→同人→革卦→離卦→豐卦→家人→既濟→賁卦→明夷→無妄→隨卦→噬嗑→震卦→益卦→屯卦→頤卦→復卦→坤卦→剝卦→比卦→觀卦→豫卦→晉卦→萃卦→否卦→謙卦→艮卦→蹇卦→漸卦→小過→旅卦→咸卦→遯卦→師卦→蒙卦→坎卦→渙卦→解卦→未濟→困卦→訟卦→升卦→蠱卦→井卦→巽卦→恆卦→鼎卦→大過→姤卦。
（三）序數圓環
（1）逆行環布
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44。
（2）周期循環
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→（開始循環）
乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→
履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→
同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→
無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27→復卦24→
坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→
謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31→遯卦33→
師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→
升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→……
（四）復與頤斷
（1）基本結構
[復卦24→坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56→咸卦31]→[遯卦33→師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57→恆卦32]→[鼎卦50→大過28→姤卦44→{乾卦01→夬卦43→大有14→大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11→履卦10→兌卦58→睽卦38→歸妹54}→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19]→[同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→無妄25→隨卦17→噬嗑21→震卦51→益卦42→屯卦03→頤卦27]→……
（2）簡化形式
[復卦24→……→咸卦31]→[遯卦33→……→恆卦32]→[鼎卦50→……→臨卦19]→[同人13→……→頤卦27]
注意，從鼎卦逆時針轉到臨卦，中間隱藏著一條子鏈，{乾卦01→……→歸妹54}。
（3）分段求和
①從復卦逆時針轉到咸卦，和為493
24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56+31=493
②從遯卦逆時針轉到恆卦，和為490
33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57+32=490
③從鼎卦逆時針轉到臨卦，和為606
50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11+10+58+38+54+61+60+41+19=606
④從同人逆時針轉到頤卦，和為491
13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42+03+27=491
總和=493+490+606+491=2080
（五）黃金分割
（1）從鼎卦逆時針轉到咸卦=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：從鼎卦逆時針轉到咸卦=606+491+493=1590，總和=2080，
Ω×Ω=1590÷2÷2080=0.3822……
然後開平方，解出Ω=0.6177……
（2）從遯卦逆時針轉到頤卦=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：從遯卦逆時針轉到頤卦=490+606+491=1587，總和=2080，
Ω×Ω=1587÷2÷2080=0.3814……
然後開平方，解出Ω=0.6176……
（3）從復卦逆時針轉到臨卦=總和×Ω×Ω×2，第二層次黃金分割
驗算：從復卦逆時針轉到臨卦=493+490+606=1589，總和=2080，
Ω×Ω=1589÷2÷2080=0.3819……
然後開平方，解出Ω=0.61803……
這一組，精度極高。與黃金比率Ω=0.6180339……比較，誤差不到十萬分之一。
（4）從復卦逆時針轉到咸卦=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：從復卦逆時針轉到咸卦=493，總和=2080，
Ω×Ω×Ω=493÷2080=0.2370……
然後開立方，解出Ω=0.6188……
（5）從遯卦逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：從遯卦逆時針轉到恆卦=490，總和=2080，
Ω×Ω×Ω=490÷2080=0.2355……
然後開立方，解出Ω=0.6176……
（6）從同人逆時針轉到頤卦=總和×Ω×Ω×Ω，第三層次黃金分割
驗算：從同人逆時針轉到頤卦=491，總和=2080，
Ω×Ω×Ω=491÷2080=0.2360……
然後開立方，解出Ω=0.61802……
這一組，精度極高。與黃金比率Ω=0.6180339……比較，誤差不到十萬分之一。
（7）從復卦逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω×2，第三層次黃金分割
驗算：從復卦逆時針轉到恆卦=493+490=983，總和=2080，
Ω×Ω×Ω=983÷2÷2080=0.2362……
然後開立方，解出Ω=0.6182……
（8）從同人逆時針轉到恆卦=總和×Ω×Ω×Ω×3，第三層次黃金分割
驗算：從同人逆時針轉到恆卦=491+493+490=1474，總和=2080，
Ω×Ω×Ω=1474÷3÷2080=0.2362……
然後開立方，解出Ω=0.6181……
（9）從鼎卦逆時針轉到臨卦=總和×Ω×Ω×Ω×Ω×2，第四層次黃金分割
驗算：從鼎卦逆時針轉到臨卦=606，總和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω=606÷2÷2080=0.1456……
然後開四次方，解出Ω=0.6177……
（10）從乾卦逆時針轉到歸妹=總和×Ω×Ω×Ω×Ω，第四層次黃金分割
驗算：從乾卦逆時針轉到歸妹=303，總和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω=303÷2080=0.1456……
然後開四次方，解出Ω=0.6177……
需要指出的是，（10）中的鏈條，隱藏在（9）中。
（六）復與頤連
我們注意到，從復卦起始，到頤卦終結，可以得到第三層次黃金分割，也可以得到第四層次黃金分割。但是，得不到第一、二層次黃金分割。
如何彌補這個缺陷呢？非常有趣的是，我們發現讓頤卦與復卦相連就可以了。
（1）基本結構
[頤卦27→復卦24→坤卦02→剝卦23→比卦08→觀卦20→豫卦16→晉卦35→萃卦45→否卦12→謙卦15→艮卦52→蹇卦39→漸卦53→小過62→旅卦56]→[咸卦31→遯卦33→師卦07→蒙卦04→坎卦29→渙卦59→解卦40→未濟64→困卦47→訟卦06→升卦46→蠱卦18→井卦48→巽卦57]→[恆卦32→鼎卦50→大過28→姤卦44→乾卦01→夬卦43→大有14→{大壯34→小畜09→需卦05→大畜26→泰卦11]→[履卦10]→[兌卦58→睽卦38→歸妹54→中孚61→節卦60→損卦41→臨卦19→同人13→革卦49→離卦30→豐卦55→家人37→既濟63→賁卦22→明夷36→無妄25→隨卦17→噬嗑21}→震卦51→益卦42]→[屯卦03]
（2）簡化形式
[頤卦27→復卦24→……→旅卦56]→[咸卦31→……→巽卦57]→[恆卦32→……→泰卦11]→[履卦10]→[兌卦58→……→益卦42]→[屯卦03]
注意，從恆卦逆時針轉到益卦，中間隱藏著一條子鏈，{大壯34→……→噬嗑21}。
（3）分段求和
①從頤卦逆時針轉到旅卦，和為489
27+24+02+23+08+20+16+35+45+12+15+52+39+53+62+56=489
②從咸卦逆時針轉到巽卦，和為489
31+33+07+04+29+59+40+64+47+06+46+18+48+57=489
③從恆卦逆時針轉到泰卦，和為297
32+50+28+44+01+43+14+34+09+05+26+11=297
④履卦獨立，和為10
⑤從兌卦逆時針轉到益卦，和為792
58+38+54+61+60+41+19+13+49+30+55+37+63+22+36+25+17+21+51+42=792
⑥屯卦獨立，和為03
（七）黃金分割
①從頤卦逆時針轉到履卦=總和×Ω，第一層次黃金分割
驗算：從頤卦逆時針轉到履卦=489+489+297+10=1285，總和=2080，
解出Ω=1285÷2080=0.6177……
②從兌卦逆時針轉到屯卦=總和×Ω×Ω，第二層次黃金分割
驗算：從兌卦逆時針轉到屯卦=792+3=795，總和=2080，
Ω×Ω=795÷2080=0.3822……
然後開平方，解出Ω=0.6182……
③從兌卦逆時針轉到旅卦=總和×Ω，第一層次黃金分割
驗算：從兌卦逆時針轉到旅卦=792+3+489=1284，總和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
④從咸卦逆時針轉到履卦=總和×Ω×Ω，第二層次黃金分割
驗算：從咸卦逆時針轉到履卦=489+297+10=796，總和=2080，
Ω×Ω=796÷2080=0.3826……
然後開平方，解出Ω=0.6186……
⑤從震卦逆時針轉到大有=總和×Ω，第一層次黃金分割
驗算：從震卦逆時針轉到大有=1286，總和=2080，
解出Ω=1286÷2080=0.6182……
⑥從大壯逆時針轉到噬嗑=總和×Ω×Ω，第二層次黃金分割
驗算：從大壯逆時針轉到噬嗑=794，總和=2080，
Ω×Ω=794÷2080=0.3817……
然後開平方，解出Ω=0.6178……
⑦從屯卦逆時針轉到巽卦=總和×Ω×Ω×Ω×2，第三層次黃金分割
驗算：從屯卦逆時針轉到巽卦=3+489+489=981，總和=2080，
Ω×Ω=981÷2÷2080=0.2358……
然後開平方，解出Ω=0.6178……
⑧從恆卦逆時針轉到益卦=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω，第二、四層次黃金分割
驗算：從恆卦逆時針轉到益卦=297+10+792=1099，總和=2080，
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω=1099÷2080=0.5283……
這是一個四次方程，解出Ω=0.6182……
最後，我們總結一下本文所記錄的兩種計算方式。
總和
=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω×Ω×3+總和×Ω×Ω×Ω×Ω×2
=總和×Ω×Ω×Ω×2+（總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω）
①復頤相斷
此種情形，實現了第三、四層次的黃金分割，在精度上有突破。誤差最小時，大約為十萬分之一。
②頤復相連
此種情形，實現了第一、二層次黃金分割，精度一般。
