【正見網2015年11月22日】
圖論是具有應用價值的一門數學，起源於一些趣味遊戲問題。瑞士人歐拉，是十八世紀最傑出的數學家。歐拉獲得的早期圖論研究成果，使得他被稱為圖論奠基人。歐拉在研究棋盤跳馬時，獲得了一個有趣的馬步方陣。
這篇短文中，九數將《周易》卦序置換作用於歐拉的馬步方陣，得到一個八行八列的卦序方陣；然後，我們對卦序方陣作一點計算，觀察卦序方陣蘊涵的黃金分割現象。結果表明，歐拉方陣在《周易》卦序置換的作用下，演化為一個奇異黃金方陣。
（一）《周易》卦序
我們記錄通行本《周易》卦序，書分上下二篇。以“上經”與“下經”標記。
上經：乾卦第一，坤卦第二，屯卦第三，蒙卦第四，需卦第五，訟卦第六，師卦第七，比卦第八，小畜第九，履卦第十，泰卦第十一，否卦第十二，同人第十三，大有第十四，謙卦第十五，豫卦第十六，隨卦第十七，蠱卦第十八，臨卦第十九，觀卦第二十，噬嗑第二十一，賁卦第二十二，剝卦第二十三，復卦第二十四，無妄第二十五，大畜第二十六，頤卦第二十七，大過第二十八，坎卦第二十九，離卦第三十。
下經：咸卦第三十一，恆卦第三十二，遯卦第三十三，大壯第三十四，晉卦第三十五，明夷第三十六，家人第三十七，睽卦第三十八，蹇卦第三十九，解卦第四十，損卦第四十一，益卦第四十二，夬卦第四十三，姤卦第四十四，萃卦第四十五，升卦第四十六，困卦第四十七，井卦第四十八，革卦第四十九，鼎卦第五十，震卦第五十一，艮卦第五十二，漸卦第五十三，歸妹第五十四，豐卦第五十五，旅卦第五十六，巽卦第五十七，兌卦第五十八，渙卦第五十九，節卦第六十，中孚第六十一，小過第六十二，既濟第六十三，未濟第六十四。
（二）邵雍方圖
北宋理學家邵雍，有先天六十四卦方圖傳世。
坤卦01，剝卦02，比卦03，觀卦04，豫卦05，晉卦06，萃卦07，否卦08；
謙卦09，艮卦10，蹇卦11，漸卦12，小過13，旅卦14，咸卦15，遯卦16；
師卦17，蒙卦18，坎卦19，渙卦20，解卦21，未濟22，困卦23，訟卦24；
升卦25，蠱卦26，井卦27，巽卦28，恆卦29，鼎卦30，大過31，姤卦32；
復卦33，頤卦34，屯卦35，益卦36，震卦37，噬嗑38，隨卦39，無妄40；
明夷41，賁卦42，既濟43，家人44，豐卦45，離卦46，革卦47，同人48；
臨卦49，損卦50，節卦51，中孚52，歸妹53，睽卦54，兌卦55，履卦56；
泰卦57，大畜58，需卦59，小畜60，大壯61，大有62，夬卦63，乾卦64。
（三）遍歷棋盤
圖論歷史上，有一個有趣的“周遊世界”問題，最初被稱為“騎士周遊世界”。這個問題，是在西洋棋棋盤上表述的。
【問題】在八行八列的西洋棋棋盤上，象棋中的馬（又稱騎士），能否從某個格子出發，不重複的跳遍所有的六十四個格子，最後回到起點?
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西元1757年，歐拉在寫給哥德巴赫的一封信中，給出了騎士周遊世界問題的一種解法。
兩年後，歐拉專門發表了討論各種棋盤的騎士周遊世界問題的論文。
（四）歐拉方陣
在研究騎士周遊世界問題的過程中，歐拉得到了一個有趣的八階方陣。
01， 48， 31， 50， 33， 16， 63， 18；
30， 51， 46， 03， 62， 19， 14， 35；
47， 02， 49， 32， 15， 34， 17， 64；
52， 29， 04， 45， 20， 61， 36， 13；
05， 44， 25， 56， 09， 40， 21， 60；
28， 53， 08， 41， 24， 57， 12， 37；
43， 06， 55， 26， 39， 10， 59， 22；
54， 27， 42， 07， 58， 23， 38， 11。
這個八階方陣，有兩個最顯著的特點。
其一，按照01→02→03→……→63→64的線路走完，恰好每一步都符合西洋棋棋盤上跳馬的規則。而且，□格子中擺放的都是單數，■格子中擺放的都是雙數。
其二，按照南宋楊輝縱橫圖的要求，正好符合洛書模式，縱橫斜三個方向八數等和。每行和為260，每列和為260，每條對角線和為260。
（五）卦象排列
我們將歐拉方陣中的數字，按照邵雍方圖，置換為卦象，得到一個八行八列的卦象方陣。
坤卦， 同人， 大過， 損卦， 復卦， 遯卦， 夬卦， 蒙卦；
鼎卦， 節卦， 離卦， 比卦， 大有， 坎卦， 旅卦， 屯卦；
革卦， 剝卦， 臨卦， 姤卦， 咸卦， 頤卦， 師卦， 乾卦；
中孚， 恆卦， 觀卦， 豐卦， 渙卦， 大壯， 益卦， 小過；
豫卦， 家人， 升卦， 履卦， 謙卦， 無妄， 解卦， 小畜；
巽卦， 歸妹， 否卦， 明夷， 訟卦， 泰卦， 漸卦， 震卦；
既濟， 晉卦， 兌卦， 蠱卦， 隨卦， 艮卦， 需卦， 未濟；
睽卦， 井卦， 賁卦， 萃卦， 大畜， 困卦， 噬嗑， 蹇卦。
（六）序數方陣
有了卦象方陣，我們將《周易》卦序數字抄寫在卦名旁邊，得到一個八行八列的序數方陣。
坤卦02， 同人13， 大過28， 損卦41， 復卦24， 遯卦33， 夬卦43， 蒙卦04；
鼎卦50， 節卦60， 離卦30， 比卦08， 大有14， 坎卦29， 旅卦56， 屯卦03；
革卦49， 剝卦23， 臨卦19， 姤卦44， 咸卦31， 頤卦27， 師卦07， 乾卦01；
中孚61， 恆卦32， 觀卦20， 豐卦55， 渙卦59， 大壯34， 益卦42， 小過62；
豫卦16， 家人37， 升卦46， 履卦10， 謙卦15， 無妄25， 解卦40， 小畜09；
巽卦57， 歸妹54， 否卦12， 明夷36， 訟卦06， 泰卦11， 漸卦53， 震卦51；
既濟63， 晉卦35， 兌卦58， 蠱卦18， 隨卦17， 艮卦52， 需卦05， 未濟64；
睽卦38， 井卦48， 賁卦22， 萃卦45， 大畜26， 困卦47， 噬嗑21， 蹇卦39。
（七）行列求和
接下來，我們對序數方陣作一點計算。
（1）橫向計算
第一行，和為02+13+28+41+24+33+43+04=188。
第二行，和為50+60+30+08+14+29+56+03=250。
第三行，和為49+23+19+44+31+27+07+01=201。
第四行，和為61+32+20+55+59+34+42+62=365。
第五行，和為16+37+46+10+15+25+40+09=198。
第六行，和為57+54+12+36+06+11+53+51=280。
第七行，和為63+35+58+18+17+52+05+64=312。
第八行，和為38+48+22+45+26+47+21+39=286。
總和為188+250+201+365+198+280+312+286=2080。
（2）縱向計算
第一列，和為02+50+49+61+16+57+63+38=336。
第二列，和為13+60+23+32+37+54+35+48=302。
第三列，和為28+30+19+20+46+12+58+22=235。
第四列，和為41+08+44+55+10+36+18+45=257。
第五列，和為24+14+31+59+15+06+17+26=192。
第六列，和為33+29+27+34+25+11+52+47=258。
第七列，和為43+56+07+42+40+53+05+21=267。
第八列，和為04+03+01+62+09+51+64+39=233。
總和為336+302+235+257+192+258+267+233=2080。
（八）黃金分割
我們用Ω表示黃金比率，先建立部分與總體之間的關係式，然後解出Ω的值。控制範圍為0.617<Ω<0.619。如此，誤差一般在千分之一以內。
（1）行的結構
①第一行+第二行+第三行+第四行+第六行=總和×Ω，第一層次黃金分割
驗算：第一行+第二行+第三行+第四行+第六行= 188+250+201+365+280=1284，總和=2080，
解出Ω=1284÷2080=0.6173……
②第五行+第七行+第八行=總和×Ω×Ω，第二層次黃金分割
驗算：第五行+第七行+第八行= 198+312+286=796，總和=2080，
Ω×Ω= 796÷2080=0.3826……
然後開平方，解出Ω= 0.6186……
③第二行+第三行+第四行+第六行=總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω，第二、四層次黃金分割
驗算：第二行+第三行+第四行+第六行=250+201+365+280=1096，總和=2080，
Ω×Ω+Ω×Ω×Ω×Ω= 1096÷2080 =0.5269……
這是一個四次方程，解出Ω= 0.6176……
④第一行=總和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω，第五層次黃金分割
驗算：第一行=188，總和=2080，
Ω×Ω×Ω×Ω×Ω=188÷2080= 0.0903……
然後開五次方，解出Ω= 0.6183……
（2）列的結構
①第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=總和×Ω，第一層次黃金分割
驗算：第一列+第四列+第五列+第七列+第八列=336+257+192+267+233=1285，總和=2080，
解出Ω= 1285÷2080=0.6177……
②第二列+第三列+第六列=總和×Ω×Ω，第二層次黃金分割
驗算：第二列+第三列+第六列=，總和=2080，
Ω×Ω=795÷2080= 0.3822……
然後開平方，解出Ω= 0.6182……
總體而言，行與列，包含有如下兩種分割模式。
總和
=總和×Ω+總和×Ω×Ω
=總和×Ω×Ω+（總和×Ω×Ω+總和×Ω×Ω×Ω×Ω）+總和×Ω×Ω×Ω×Ω×Ω
依照“續三”中的術語，這是一個奇異黃金方陣。
