【正見網2009年04月17日】
中國人很早就知道「勾三股四弦五」，現存於世的古老天算著作《周髀算經》就記載了這一結果。一般來說，直角三角形的兩直角邊平方和等於斜邊的平方。三三而九，四四十六，五五二十五，正好有這樣一種加法關係。
當年，文淵閣大學士李光地(公元1642年―1718年)，奉康熙皇帝之命，率四十九名進士，編纂《周易折中》，搜羅百代之精華，集萃前賢之大成。此書附有易學啟蒙篇章，開河洛勾股之先河。
後繼者江永(公元1681年―1762年)，字慎修，著作《河洛精蘊》。江永七十九歲時，作此書，闡奧發微，一生研究所得，盡在其中。
二位大儒的著作，在清代，產生了非常深廣的影響。九數這篇短文的題目「勾股乘方」四字就取自《河洛精蘊》，在他們的基礎上，我稍微作了點引申。
四九二
三五七
八一六
（一）洛書轉盤
看了古人留下的許多洛書圖式，我認定萬年淳的外圓內方洛書圖式最適合表現轉盤旋機結構。在《洛書旋機與全息結構》這篇短文中，我們引過一句話――天道左旋，地道右轉。這是古人留下的觀點，在洛書中，可以有非常簡明的數字表現。
[1]陽數天盤
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
左旋三倍：一三九七
一→三：1*3=3，化為1*3≡3（模10）；
三→九：3*3=9，化為3*3≡9（模10）；
九→七：9*3=27，化為9*3≡7（模10）；
七→一：27*3=81，化為7*3≡1（模10）。
右旋七倍：一七九三
一→七：1*7=7，化為1*7≡7（模10）；
七→九：7*7=49，化為7*7≡9（模10）；
九→三：9*7=63，化為9*7≡3（模10）；
三→一：3*7=21，化為3*7≡1（模10）。
[2]陰數地盤
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
右旋七倍：二四八六
二→四：2*7=14，化為2*7≡4（模10）；
四→八：4*7=28，化為4*7≡8（模10）；
八→六：8*7=56，化為8*7≡6（模10）；
六→二：6*7=42，化為6*7≡2（模10）。
左旋三倍：二六八四
二六：2*3=6，化為2*3≡6（模10）；
六八：6*3=18，化為6*3≡8（模10）；
八四：8*3=24，化為8*3≡4（模10）；
四二：4*3=12，化為4*3≡2（模10）。
很明顯，這裡寫成模10的同餘式，是用觀察乘法所得的結果來描述轉盤數字循環模式的。
洛書口訣中，有一句「左三右七」，我們這裡正是用這種模式來解釋的。左旋三倍，右旋七倍，這是對天盤和地盤都適用的統一模式。可以說，這是最佳的選擇。
（二）周期循環
在《周易折中》裡，記有「河圖為加減之原，洛書為乘除之原」的說法。實際上，在洛書中有完全的加減乘除四則算術規律。從乘方的角度來看洛書，更能夠展現出旋轉的特點。
[1]陽數天盤
□，九，□
三，◎，七
□，一，□
一的乘方個位數字總是按照一循環，周期為一。
三的乘方個位數字總是按照三九七一循環，周期為四。
七的乘方個位數字總是按照七九三一循環，周期為四。
九的乘方個位數字總是按照九一循環，周期為二。
1^1=1；1^2=1，……
3^1=3，3^2=9，3^3=27，3^4=81；3^5=243，……
7^1=7，7^2=49，7^3=343，7^4=2401；7^5=16807，……
9^1=9，9^2=81；9^3=729，……
[2]陰數地盤
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
二的乘方個位數字總是按照二四八六循環，周期為四。
四的乘方個位數字總是按照四六循環，周期為二。
六的乘方個位數字總是按照六循環，周期為一。
八的乘方個位數字總是按照八四二六循環，周期為四。
2^1=2，2^2=4，2^3=8，2^4=16；2^5=32，……
4^1=4，4^2=16；4^3=64，……
6^1=6；6^2=36，……
8^1=8，8^2=64，8^3=512，8^4=4096；8^5=32768，……
[3]河洛對照
非常有趣的是，前面歸納的洛書中乘方個位數字規則，如果放在河圖中看，正好是同類的居相同方位。
□□七□□
□□二□□
八三五四九
□□一□□
□□六□□
一六，北方水，恰好周期都為一。
二七，南方火，恰好周期都為四，在洛書中反時針。
三八，東方木，恰好周期都為四，在洛書中順時針。
四九，西方金，恰好周期都為二。
對於這些數來說，有一個共同的特點，無論各自周期是多少，五次方的結果，其個位數字總回到該數本身。寫成同餘式，即a^5≡a（模10）。
（三）.d字螺旋
我們從.d字符的角度看洛書，將洛書劃分為四條螺旋臂。四→三→五，二→九→五，六→七→五，八→一→五。這裡的數字排列，是從邊緣走向中心數字五。
四，九，二
三，五，七
八，一，六
仔細看，四→三→五，這分明是勾三股四弦五的模式。難道這洛書也能夠和勾股定理連上？是的，當年江永就是這樣看的。為此，他作了四幅洛書勾股圖，每條螺旋一幅圖。
也許有人會問，那「二→九→五」呢？這也難不住江永，他用前面的「左旋三倍」乘法規則來解釋。
四→三→五：4^2+3^2=5^2
二→九→五：12^2+9^2=15^2
六→七→五：36^2+27^2=45^2
八→一→五：108^2+81^2=135^2
注意到.d字符是旋轉的，上面的模式還可以繼續下去。
四→三→五：324^2+243^2=405^2
二→九→五：972^2+729^2=1215^2
六→七→五：2916^2+2187^2=3645^2
八→一→五：8748^2+6561^2=10935^2
勾3→9→27→81→243→729→2187→6561→……
股4→12→36→108→324→972→2916→8748→……
弦5→15→45→135→405→1215→3645→10935→……
很明顯，.d字符每旋轉四分之一圓周，數字就都擴大三倍了，如此循環下去，直至無窮。在這個變化過程中，洛書中的數字，記錄的正好是所得大數的個位數字。就這樣，小小的洛書中，存儲了無數的勾股弦數字組合。
（四）黃金比例
黃金比0.618……，這是西方人認識的奇妙數字。許多人都認為，這個數字也寫在洛書裡面了。因為我們分明看見洛書最下方排列的是「八一六」，如此離黃金比也就不遠了。人們可以用這三個數字寫出一個小數0.618，這正好是黃金比的近似值。
四，□，二
□，◎，□
八，□，六
請注意觀察偶數在洛書中的排列，按照順時針方向，從左上角開始，正好是四二六八。非常有趣的是，4+2=6，2+6=8，6+8=14，這裡14的個位數字正好回到了出發點4。這裡，並沒有按照「左旋三倍」的乘法來看，而是不斷的作加法，這正是黃金數列的生成規則！
繼續演算下去，8+14=22，14+22=36，36+58=94，58+94=152，94+152=246，152+246=398。
就這樣，我們得出了一個序列：4，2，6，8，14，22，36，58，94，152，246，398，……很明顯這個序列的個位數字恰好是按照4→2→6→8的順序循環出現。
一般來說，x[1]=4，x[2]=2，x[n]+x[n+1]=x[n+2]，由此就可以完全確定這個序列。由於這個序列與斐波那契數列的生成規則一致，都是x[n]+x[n+1]=x[n+2]，因此同樣會有相鄰二項的比值x[n]∶x[n+1]越來越接近0.618……（黃金比）。
我們算幾個例子看一下吧。22/36=0.61111…，58/94=0.61702…，94/152=0.61842…，246/398=0.61809…。
好幾個世紀以前，一位德國人克卜勒說過，幾何學裡有兩大寶藏，一個是勾股定理，一個是黃金比例。非常有意思的是，人們按照易的象數思維，這兩大寶藏竟然都和洛書連上了。也許是因為洛書的地位實在太崇高吧，人們總是想儘可能的往洛書裡面多裝點好東西。
有時候，我在想，八卦就是一隻葫蘆，裡面裝著天地間無數的真寶。八卦如此，河圖洛書也是如此，天干地支甲子五行還是如此。這是典型的東方人發展學術的方式，後人為前人註解的時候，這個「注」字生動的表達了又有新的東西注入其中了。這個過程，就是往葫蘆裡裝寶的過程。
（五）算術妙趣
從前，有一位法國人，非常喜歡東方文化，尤其是對中國的洛書河圖八卦有極大的興趣，花了大量的時間學易。非常有趣的是，這位法國人竟然從洛書中領悟了一個有趣的數字排列。
四，九，二
三，五，七
八，一，六
他發現，在洛書中，按照「三→八→一→六→五→四→七→二→九」這樣的順序取數，可以得出一組非常奇妙的數字。依次得出的是一位數到九位數：3，38，381，3816，38165，381654，3816547，38165472，381654729。
請看下面的除法計算。
一位數字：三，3÷1=3；
二位數字：三八，38÷2=19；
三位數字：三八一，381÷3=127；
四位數字：三八一六，3816÷4=954；
五位數字：三八一六五，38165÷5=7633；
六位數字：三八一六五四，381654÷6=63609；
七位數字：三八一六五四七，3816547÷7=545221；
八位數字：三八一六五四七二，38165472÷8=4770684；
九位數字：三八一六五四七二九，381654729÷9=42406081。
他的發現是，在這個順序中，取幾位數，該數就是幾的倍數。需要注意的是，「三→八→一」與「七→二→九」正好在洛書中處於中心對稱的位置。你看，這位法國人的發現確實非常有趣呢！
這樣的一種數字研究，對於古代的中國人來說，是非常陌生的。因為這完全是西方人的傳統，他們受古希臘的影響，重視幾何和素數。
算數，對於古代的中國人來說，就是加減乘除乘方開方，並不關心數之間的分解與合成，也就沒有素數合數這樣的內容了。在二千多年前，中國人並沒有素數的概念，這是當時希臘人的文化。算籌算盤這些算具的發明，意味著古代中國人擅長的是計算。
